Формула циклоиды: Недопустимое название — Циклопедия

Плоские кривые — лемнискаты, циклоиды, гипоциклоиды, цепная линия, трохоида

ЛЕМНИСКАТЫ
Уравнение в полярных координатах:
r² = a²cos2θ

Уравнение в прямоугольных координатах:
(x² + y²)² = a²(x² — y²)

Угол между AB’ или A’B и осью x = 45^o

Площадь одной петли = a²/2

ЦИКЛОИДА
Уравнения в параметрической форме:

Площадь одной дуги = 3πa²

Длина дуги одной арки = 8a

Это кривая, описываемая точкой Р на окружности радиусом а, которая катится вдоль оси х.

ГИПОЦИКЛОИДЫ С ЧЕТЫРЬМЯ ОСТРИЯМИ
Уравнение в прямоугольных координатах:
x^2/3 + y^2/3 = a^2/3

Уравнения в параметрической форме:

Площадь, ограниченная кривой = 3πa²/8

Длина дуги целой кривой = 6a

Это кривая, описываемая точкой Р на окружности радиусом a/4, которая катится внутри окружности радиусом a.

КАРДИОИДА
Уравнение: r = a(1 + cosθ)

Площадь, ограниченная кривой = 3πa²/2

Длина дуги кривой = 8a

Это кривая, описываемая точкой Р на окружности радиусом a, которая катится снаружи окружности радиусом a. Эта кривая также является частным случаем улитки Паскаля.

ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ
Уравнение:
y = a(e^x/a + e^-x/a)/2 = acosh(x/a)

Это кривая, по которой бы повисла цепь, подвешенная вертикально от точки А к В.

ТРЕХЛЕПЕСТКОВАЯ РОЗА
Уравнение: r = acos3θ

Уравнение r = acos3θ подобно кривой, полученной вращением против часовой стрелки по кривой 30^o или π/6 радиан.

В общем, r = acosnθ или r = asinnθ имеет n лепестков если n является нечетным.

ЧЕТЫРЕХЛЕПЕСТКОВАЯ РОЗА
Уравнение: r = acos2θ

Уравнение r = asin2θ подобно кривой, полученной вращением против часовой стрелки по кривой 45^o или π/4 радиан.

В общем r = acosnθ или r = asinnθ имеет 2n лепестков если n — четное.

ЭПИЦИКЛОИДА
Параметрические уравнения:

Это кривая, описываемая точкой Р на окружности радиуса b, когда она катится по внешней стороне окружности радиусом а. Кардиоида является частным случаем эпициклоиды.

ОБЩАЯ ГИПОЦИКЛОИДА
Параметрические уравнения:

Это кривая, описываемая точкой Р на окружности радиуса b, когда она катится по внешней стороне окружности радиусом а.

Если b = a/4, кривая является гипоциклоидой с четырьмя остриями.

ТРОХОИДА
Параметрические уравнения:

Это кривая, описываемая точкой Р на дистанции b от центра окружности с радиусом а, когда она катится по оси x.
Если b укороченной циклоидой.
Если b > a, кривая имеет форму, показанную на рис. 11-11 и называется троходой.
Если b = a, кривая есть циклоидой.

ТРАКТРИСА
Параметрические уравнения:

Это кривая, описываемая конечной точкой Р натянутой струны длиной PQ, когда другой конец Q перемещается вдоль оси х.

ВЕРЗЬЕРА (ВЕРЗИЕРА) АНЬЕЗИ (ИНОГДА ЛОКОН АНЬЕЗИ)

Уравнение в прямоугольных координатах: y = 8a³/(x² + 4a²)

Параметрические уравнения:

В. На рисунке переменная линия OA пересекающая y = 2a и круг с радиусом a с центром (0,a) в A и B соотвественно. Любая точка P на «локоне» определяется построением линий, параллельных к осям x и y, и через B и A соответственно и определяющие точку пересечения P.

ДЕКАРТОВ ЛИСТ
Уравнение в прямоугольных координатах:
x³ + y³ = 3axy

Параметрические уравнения:

Площадь петли 3a²/2

Уравнение асимптоты: x + y + a = 0.

ЭВОЛЬВЕНТА ОКРУЖНОСТИ
Параметрические уравнения:

Эта кривая, описанная конечной точкой P струны, когда она разматывается с круга с радиусом a.

ЭВОЛЬВЕНТА ЭЛЛИПСА
Уравнение в прямоугольных координатах:
(ax)^2/3 + (by)^2/3 = (a² — b²)^2/3

Параметрические уравнения:

Эта кривая является огибающей нормалью к эллипсу x²/a² + y²/b² = 1.

ОВАЛЫ КАССИНИ
Полярное уравнение: r⁴ + a⁴ — 2a²r²cos2θ = b⁴.

Это кривая, описываемая такой точкой P, что произведение ее расстояния от двух фиксированных точек [ расстояние 2a в сторону] есть постоянной b²

Кривая, как на фигурах внизу, когда b a соответственно.

Если b = a, кривая есть лемниската

УЛИТКА ПАСКАЛЯ
Полярное уравнение: r = b + acosθ

Пусть OQ будет линией, соединяющей центр O с любой точкой Q на окружности диаметром a проходящей через O. Тогда кривая есть фокусом всех точек P, таких, что PQ = b.

Кривая, показанная на рисунках внизу когда b > a или b

ЦИССОИДА ДИОКЛА
Уравнение в прямоугольных координатах: y² = x³/(2a — x)

Параметрические уравнения:

Это кривая, описываемая такой точкой P, что расстояние OP = расстоянию RS. Используется в задаче удвоения куба, т.e. нахождения стороны куба, который имеет удвоенный объем заданного куба

СПИРАЛЬ АРХИМЕДА
Полярное уравнение: r = aθ

Циклоида — удивительная кривая, над которой не властно время | Математика не для всех

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня хочу рассказать Вам про еще одну удивительную кривую линию — циклоиду. Её изучали Галилей и Торричелли, Декарт и Ферма, Ньютон и Лейбниц, и все находили в ней вдохновение и красоту.

Эта обычная, казалось бы, кривая линия стала одним из «точильных камней», зарождавшегося в 18 веке математического анализа. Обладая множеством интересных свойств, циклоида широко применяется в науке и технике. Узнаем подробнее. Поехали!

Источник: https://i.pinimg.com/736x/7f/76/65/7f7665f3bad738b7aa8c90ba30a7c1f1.jpg

Что такое циклоида ?

На самом деле, когда математики позднего средневековья начали изучать циклоиду, то были немного сокрушены тем фактом, что их предшественники не замечали лежащую буквально под их ногами замечательную кривую (об этом писал, в частности, Блез Паскаль).

Действительно, ведь циклоиду видел абсолютно каждый из Вас: это всего лишь траектория движения точки катящегося колеса! Смотрите:

Источник: http://www.vasmirnov.ru/Lessons/5-6/Cyc1.gif

Описывается циклоида достаточно сложным уравнением (размещу его здесь, но дальше сложной математики не будет):

Зачем я привел эту формулу? Я хочу обратить Ваше внимание, каким образом записывается уравнение циклоиды.

В школьном курсе математики привычная запись функции имеет вид y= f(x) (или наоборот). Более важно то, что под f(x) чаще всего понимается многочлен, т.е. конструкция, в которой есть операции умножения, сложения, вычитания и возведения в степень (в т.ч. в виде извлечения корня).

Так вот, циклоида является первой из исследованных математиками кривых, которая не может быть записана в виде многочлена (привет, арккосинус!). Такие кривые называют трансцендентными, в отличие от более простых алгебраических.

Источник: https://diletant.media/upload/iblock/2fa/2fa56227cc8c11d7ce8c4057a6f10b56.jpg

Впервые циклоиду заметили в начале 16 века, но современное название этой кривой дал Галилео Галилей. Он же экспериментально открыл тот факт, что каждая «арка» циклоиды по площади втрое больше исходного «колеса». Но есть другое свойство циклоиды, еще более удивительное!

Таутохронность циклоиды

Это свойство заключается в том, что одно и то же тело, помещенное в любую точку перевернутой циклоиды достигнет конечной точки за одинаковое время. Вот так это происходит:

Циклоида — единственная таутохронаtps://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/bd/Tautochrone_curve.gif

Кроме того, перевернутая циклоида называется кривой скорейшего спуска или брахистохроной.

Движение материального объекта при воздействии исключительно силы тяжести. Источник: https://i.gifer.com/20RX.gif

Есть еще и вот такое наглядное доказательство с маятником:

Источник: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/cd/Isochronous_cycloidal_pendula.gif

Циклоида широко применяется в самых неожиданных местах. Например, рампы для скейтбордистов выполняются именно в такой форме, чтобы увеличить максимальные скорости спортсменов. Рассматриваются возможности применения циклоидальных траекторий в космических перелетах, что позволит очень сильно снизить необходимую массу корабля, за счет большой инерции, получаемой при полете по такой кривой.

Рассказ про применение циклоид в технике будет неполным без упоминания эпициклоид и гипоциклоид и их разновидностей. Но эту историю, с Вашего позволения, я расскажу позже. Спасибо за внимание!

Пока что предлагаю ознакомиться с моим материалом про три очень красивых и важных графика функций.

Подписывайтесь на канал в Яндекс. Дзен или на канал в телеграм «Математика не для всех», чтобы не пропустить интересующие Вас материалы.

Вращение вокруг оси oy объем. Объём тела, полученного вращением арки циклоиды

Рассмотрим примеры применения полученной формулы, позволяющей вычислять площади фигур, ограниченных параметрически заданными линиями.

Пример.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией, параметрические уравнения которой имеют вид .

Решение.

В нашем примере параметрически заданная линия представляет собой эллипс с полуосями 2 и 3 единицы. Построим его.

Найдем площадь четверти эллипса, расположенной в первом квадранте. Эта область лежит в интервале . Площадь всей фигуры вычислим, умножив полученное значение на четыре.

Что мы имеем:

Для k = 0 получаем интервал . На этом интервале функция монотонно убывающая (смотрите раздел ). Применяем формулу для вычисления площади и определенный интеграл находим по формуле Ньютона-Лейбница :

Таким образом, площадь исходной фигуры равна .

Замечание.

Возникает логичный вопрос: почему мы брали четверть эллипса, а не половину? Можно было рассмотреть верхнюю (или нижнюю) половину фигуры. Она находится на интервале . Для этого случая мы бы получили

То есть, для k = 0 получаем интервал . На этом интервале функция монотонно убывающая.

Тогда площадь половины эллипса находится как

А вот правую или левую половины эллипса взять не получится.

Параметрическое представление эллипса с центром в начале координат и полуосями a и b имеет вид . Если действовать так же, как и в разобранном примере, то получим формулу для вычисления площади эллипса .

Окружность с центром в начале координат радиуса R через параметр t задается системой уравнений . Если воспользоваться полученной формулой площади эллипса, то сразу можно записать формулу для нахождения площади круга радиуса R : .

Решим еще один пример.

Пример.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной параметрически .

Решение.

Забегая немного вперед, кривая является «вытянутой» астроидой. (Астроида имеет следующее параметрическое представление ).

Остановимся подробно на построении кривой, ограничивающей фигуру. Строить ее мы будем по точкам. Обычно такого построения достаточно для решения большинства задач. В более сложных случаях, несомненно, потребуется детальное исследование параметрически заданной функции с помощью дифференциального исчисления.

В нашем примере .

Эти функции определены для всех действительных значений параметра t , причем, из свойств синуса и косинуса мы знаем, что они периодические с периодом два пи. Таким образом, вычисляя значения функций для некоторых (например ), получим набор точек .

Для удобства занесем значения в таблицу:

Отмечаем точки на плоскости и ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО соединяем их линией.

Вычислим площадь области, расположенной в первой координатной четверти. Для этой области .

При k=0 получаем интервал , на котором функция монотонно убывает. Применяем формулу для нахождения площади:

Полученные определенные интегралы вычислим по формуле Ньютона-Лейбница, а первообразные для формулы Ньютона-Лейбница найдем с помощью рекуррентной формулы вида , где .

Следовательно, площадь четверти фигуры равна , тогда площадь всей фигуры равна .

Аналогично можно показать, что площадь астроиды находится как , а площадь фигуры, ограниченной линией , вычисляется по формуле .

Найдём объём тела, порождённого вращением арки циклоиды вокруг её основания. Роберваль находил его, разбив полученное яйцеобразное тело (рис. 5.1) на бесконечно тонкие слои, вписав в эти слои цилиндрики и сложив их объёмы. Доказательство получилось длинное, утомительное и не вполне строгое. Поэтому для его вычисления обратимся к высшей математике. Зададим уравнение циклоиды параметрически.

В интегральном исчислении при изучении объемов пользуется следующим замечанием:

Если кривая, ограничивающая криволинейную трапецию задана параметрическими уравнениями и функции в этих уравнениях удовлетворяют условиям теоремы о замене переменной в определенном интеграле, то объем тела вращения трапеции вокруг оси Ох, будет вычисляться по формуле:

Воспользуемся этой формулой для нахождения нужного нам объема.

Таким же образом вычислим и поверхность этого тела.

L={(x,y): x=a(t — sin t), y=a(1 — cost), 0 ? t ? 2р}

В интегральном исчислении существует следующая формула для нахождения площади поверхности тела вращения вокруг оси х кривой, заданной на отрезке параметрически (t 0 ?t ?t 1):

Применяя эту формулу для нашего уравнения циклоиды получаем:

Рассмотрим также другую поверхность, порождённую вращением арки циклоиды. Для этого построим зеркальное отражение арки циклоиды относительно её основания, и овальную фигуру, образованную циклоидой и её отражением будем вращать вокруг оси KT (рис. 5.2)

Сначала найдём объём тела, образованного вращением арки циклоиды вокруг оси KT. Его объём будем вычислять по формуле(*):

Таким образом, мы посчитали объём половины данного репообразного тела. Тогда весь объём будет равен

На уроках об уравнении прямой на плоскости и уравнениях прямой в пространстве .

Встречайте старую знакомую:

Криволинейную трапецию гордо венчает график , и, как вы знаете, её площадь рассчитывается с помощью определённого интеграла по элементарной формуле или, если короче: .

Рассмотрим ситуацию, когда эта же функция задана в параметрическом виде .

Как найти площадь в этом случае?

При некотором вполне конкретном значении параметра параметрические уравнения будут определять координаты точки , а при другом вполне конкретном значении – координаты точки . Когда «тэ» изменяется от до включительно, параметрические уравнения как раз и «прорисовывают» кривую . Думаю, на счёт пределов интегрирования стало всё понятно. Теперь в интеграл вместо «икса» и «игрека» подставляем функции и раскрываем дифференциал:

Примечание : подразумевается, что функции непрерывны на промежутке интегрирования и, кроме того, функция монотонна на нём.

Формула объёма тела вращения получается так же просто:

Объём тела, получаемого вращением криволинейной трапеции вокруг оси , рассчитывается по формуле или: . Подставляем в неё параметрические функции , а также пределы интегрирования :

Пожалуйста, занесите обе рабочие формулы в свой справочник.

По моим наблюдениям, задачи на нахождение объёма встречаются довольно редко, и поэтому значительная часть примеров данного урока будет посвящена нахождению площади. Не откладываем дело в долгий ящик:

Пример 1

Вычислить площадь криволинейной трапеции , если

Решение : используем формулу .

Классическая задача по теме, которая разбирается всегда и везде:

Пример 2

Вычислить площадь эллипса

Решение : для определённости полагаем, что параметрические уравнения задают канонический эллипс с центром в начале координат, большой полуосью «а» и малой полуосью «бэ». То есть, по условию нам предложено не что иное, как

найти площадь эллипса

Очевидно, что параметрические функции периодичны, и . Казалось бы, можно заряжать формулу, однако не всё так прозрачно. Выясним направление , в котором параметрические уравнения «вычерчивают» эллипс. В качестве ориентира найдём несколько точек, которые соответствуют наиболее простым значениям параметра:

Легко уловить, что при изменении параметра «тэ» от нуля до «двух пи» параметрические уравнения «вычерчивают» эллипс против часовой стрелки :

В силу симметричности фигуры, вычислим часть площади в 1-й координатной четверти, а результат умножим на 4. Здесь мы наблюдаем принципиально такую же картину, которую я комментировал чуть выше: параметрические уравнения «прорисовывают» дугу эллипса «в противоход» оси , но площадь фигуры считается слева направо! Поэтому нижнему пределу интегрирования соответствует значение , а верхнему пределу – значение .

Как я уже советовал на уроке Площадь в полярных координатах , учетверить результат лучше сразу же :

Интеграл (если у кого-то вдруг обнаружился такой невероятный пробел) разобран на уроке Интегралы от тригонометрических функций .

Ответ :

По сути, мы вывели формулу для нахождения площади эллипса . И если на практике вам встретится задача с конкретными значениями «а» и «бэ», то вы легко сможете выполнить сверку/проверку, поскольку задача решена в общем виде.

Площадь эллипса рассчитывается и в прямоугольных координатах, для этого из уравнения необходимо выразить «игрек» и решить задачу точь-в-точь по образцу Примера №4 статьи Эффективные методы решения определённых интегралов . Обязательно посмотрите на этот пример и сравните, насколько проще вычислить площадь эллипса, если он задан параметрически.

И, конечно же, чуть не забыл, параметрические уравнения могут задавать окружность либо эллипс в неканоническом положении.

Пример 3

Вычислить площадь одной арки циклоиды

Чтобы решить задачу, нужно знать, что такое циклоида или хотя бы чисто формально выполнить чертеж. Примерный образец оформления в конце урока. Впрочем, не буду вас отправлять за тридевять земель, на график этой линии можно посмотреть в следующей задаче:

Пример 4

Решение : параметрические уравнения задают циклоиду, и ограничение указывает на тот факт, что речь идёт о её первой арке , которая «прорисовывается», когда значение параметра изменяется в пределах . Заметьте, что здесь «правильное» направление этой «прорисовки» (слева направо), а значит, не возникнет заморочек с пределами интегрирования. Но зато появится куча других прикольных вещей =) Уравнение задаёт прямую , параллельную оси абсцисс и дополнительное условие (см. линейные неравенства ) сообщает нам о том, что нужно вычислить площадь следующей фигуры:

Искомую заштрихованную фигуру я буду ассоциативно называть «крышей дома», прямоугольник – «стеной дома», а всю конструкцию (стена + крыша) – «фасадом дома». Хотя это сооружение больше напоминает какой-то коровник =)

Чтобы найти площадь «крыши» необходимо из площади «фасада» вычесть площадь «стены».

Сначала займёмся «фасадом». Для нахождения его площади нужно выяснить значения , которые задают точки пересечения прямой с первой аркой циклоиды (точки и ). В параметрическое уравнение подставим :

Тригонометрическое уравнение легко решить, банально взглянув на график косинуса : на промежутке равенству удовлетворяют два корня: . В принципе, всё понятно, но, тем не менее, перестрахуемся и подставим их в уравнение :

– это «иксовая» координата точки ;

– а это «иксовая» координата точки .

Таким образом, мы убедились в том, что значение параметра соответствует точке , а значение – точке .

Вычислим площадь «фасада». Для более компактной записи функция часто дифференцируется прямо под интегралом:

Площадь «стены» можно вычислить «школьным» методом, перемножив длины смежных сторон прямоугольника. Длина очевидна, осталось найти . Она рассчитывается как разность «иксовых» координат точек «цэ» и «бэ» (найдены ранее):

Площадь «стены»:

Разумеется, её не стыдно найти и с помощью простейшего определённого интеграла от функции на отрезке :

В результате, площадь «крыши»:

Ответ :

И, конечно же, при наличии чертежа прикидываем по клеточкам, похож ли полученный результат на правду. Похож.

Следующая задача для самостоятельного решения:

Пример 5

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями

Кратко систематизируем алгоритм решения:

– В большинстве случаев придётся выполнить чертёж и определить фигуру, площадь которой требуется найти.

– На втором шаге следует понять, каким образом рассчитывается искомая площадь: это может быть одиночная криволинейная трапеция, может быть разность площадей, может быть сумма площадей – короче говоря, все те фишки, которые мы рассматривали на уроке .

– На третьем шаге надо проанализировать, целесообразно ли пользоваться симметрией фигуры (если она симметрична), после чего узнать пределы интегрирования (начальное и конечное значение параметра). Обычно для этого необходимо решить простейшее тригонометрическое уравнение – здесь можно использовать аналитический метод, графический метод или бесхитростный подбор нужных корней по тригонометрической таблице .

! Не забываем , что параметрические уравнения могут «прорисовывать» линию и справа налево, в этом случае делаем соответствующую оговорку и поправку в рабочей формуле.

– И на завершающем этапе проводятся технические вычисления. Правдоподобность полученного ответа всегда приятно оценить по чертежу.

А сейчас долгожданная встреча со звёздой:

Пример 6

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями

Решение : кривая, заданная уравнениями является астроидой , и линейное неравенство однозначно определяет заштрихованную на чертеже фигуру:

Найдём значения параметра, которые определяют точки пересечения прямой и астроиды. Для этого подставим в параметрическое уравнение :

Способы решения подобного уравнения уже перечислены выше, в частности, эти корни легко подбираются по тригонометрической таблице .

Фигура симметрична относительно оси абсцисс, поэтому вычислим верхнюю половинку площади (синяя штриховка), а результат удвоим.

Подставим значение в параметрическое уравнение :
В результате получена «игрековая» координата верхней (нужной нам) точки пересечения астроиды и прямой.

Правой вершине астроиды, очевидно, соответствует значение . Выполним на всякий случай проверку:
, что и требовалось проверить.

Как и в случае с эллипсом, параметрические уравнения «прорисовывают» дугу астроиды справа налево. Для разнообразия оформлю концовку вторым способом: при изменении параметра в пределах функция убывает, следовательно (не забываем удвоить!!):

Интеграл получился довольно громоздкий, и чтобы «не таскать всё за собой» тут лучше прервать решение и преобразовать подынтегральную функцию отдельно. Стандартно понижаем степень с помощью тригонометрических формул :

Годится, в последнем слагаемом подведём функцию под знак дифференциала :

Ответ :

Да, тяжеловато приходится со звёздами =)

Следующее задание для продвинутых студентов:

Пример 7

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями

Для его решения будет достаточно материалов, которые мы уже рассмотрели, но привычный путь весьма долог, и сейчас я расскажу ещё об одном эффективном методе. Идея на самом деле знакома из урока Вычисление площади с помощью определённого интеграла – это интегрирование по переменной «игрек» и использование формулы . Подставляя в неё параметрические функции , получаем зеркальную рабочую формулу:

Действительно, ну а чем она хуже «стандартной»? В этом состоит ещё одно преимущество параметрической формы – уравнения способны исполнять роль не только «обычной» , но одновременно и обратной функции .

В данном случае предполагается, что функции непрерывны на промежутке интегрирования и функция монотонна на нём. Причём, если убывает на промежутке интегрирования (параметрические уравнения «прорисовывают» график «в противоход» (внимание!! ) оси ), то следует по уже рассмотренной технологии переставить пределы интегрирования либо изначально поставить «минус» перед интегралом.

Решение и ответ Примера №7 в конце урока.

Заключительный мини-раздел посвящен более редкой задаче:

Как найти объем тела вращения,

если фигура ограничена параметрически заданной линией?

Актуализируем формулу, выведенную в начале урока: . Общая методика решения точно такая же, как и при нахождении площади. Выдерну немногочисленные задачи из своей копилки.

Приветствую вас, уважаемые студенты вуза Аргемоны!

Ещё немного — и курс будет закончен, а сейчас мы займёмся вот чем.

Чжоули чуть взмахнула рукой — и в воздухе проявилась фигура. А точнее, это была прямоугольная трапеция. Она просто висела в воздухе, созданная магической энергией, которая текла по её сторонам, а также клубилась внутри самой трапеции, отчего та вся сверкала и переливалась.
Затем преподаватель чуть заметно сделала круговое движение пальцами руки — и трапеция начала вращаться вокруг невидимой оси. Сначала медленно, потом всё быстрее и быстрее — так, что в воздухе явственно стала проступать объёмная фигура. Казалось, что магическая энергия растекалась по ней.

Далее случилось следующее: сверкающие контуры фигуры и её внутренность стали заполняться каким-то веществом, свечение становилось всё менее заметным, зато сама фигура всё более была похожа на что-то осязаемое. Крупинки материала равномерно распределялись по фигуре. И вот всё закончилось: и вращение, и свечение. В воздухе висел предмет, похожий на воронку. Чжоули аккуратно переместила его на стол.

Ну вот. Примерно так можно материализовать многие предметы — путём вращения каких-то плоских фигур вокруг воображаемых прямых. Конечно, для материализации нужно определённое количество вещества, которое заполнит собой весь образующийся и временно удерживающийся при помощи магической энергии объём. А вот для того, чтобы точно подсчитать, сколько вещества надо, — и нужно знать объём получаемого тела. Иначе, если вещества будет мало, то оно не заполнит собой весь объём и тело может получиться непрочным, с изъянами. А материализовать и ещё удерживать большой избыток вещества — это ненужные затраты магической энергии.
Ну а если у нас ограниченное количество вещества? Тогда, умея вычислять объёмы тел, можно прикинуть, какое по размерам тело мы можем сделать без особых затрат магической энергии.
Насчёт излишков привлечённого материала есть ещё и другая мысль. Куда излишки вещества деваются? Осыпаются, будучи не задействованными? Или налипают на тело как попало?
В общем, тут ещё есть над чем подумать. Если вдруг у вас какие-то мысли появились, то с удовольствием их выслушаю. А пока перейдём к вычислению объёмов тел, полученных таким способом.
Здесь рассматривается несколько случаев.

Случай 1.

Область, которую мы будем вращать, представляет собой самую классическую криволинейную трапецию.

Естественно, что вращать её мы можем только вокруг оси ОХ. Если же эту трапецию сдвинуть вправо по горизонтали так, чтобы она не пересекала ось OY, то её можно вращать и относительно этой оси. Заклинательные формулы для обоих случаев следующие:

Мы с вами уже достаточно хорошо освоили основные магические воздействия на функции, поэтому для вас, думаю, не составит труда при необходимости передвинуть фигуру так в координатных осях, чтобы она располагалась удобно для работы с ней.

Случай 2.

Можно вращать не только классическую криволинейную трапецию, но и фигуру вот такого вида:

При вращении мы получим своеобразное кольцо. А передвинув фигуру в положительную область, мы можем её вращать и относительно оси OY. Тоже получим кольцо или нет. Всё зависит от того, как будет располагаться фигура: если её левая граница пройдёт точно по оси OY, то кольца не получится. Рассчитать объёмы таких тел вращения можно, используя следующие заклинания:

Случай 3.

Вспомним, что у нас есть замечательные кривые, но задающиеся не привычным нам способом, а в параметрическом виде. Такие кривые часто замкнуты. Параметр t должен меняться таким образом, чтобы замкнутая фигура при обходе её по кривой (границе) оставалась слева.

Тогда для вычисления объёмов тел вращения относительно оси ОХ или OY надо использовать вот такие заклинания:

Эти же формулы можно использовать и для случая незамкнутых кривых: когда оба конца лежат на оси ОХ или на оси OY. Фигура-то по-любому получается замкнутой: концы замыкает отрезок оси.

Случай 4.

Часть замечательных кривых у нас задаются полярными координатами (r=r(fi)). И тогда фигуру можно вращать относительно полярной оси. В этом случае декартовая система координат совмещается с полярной и полагается
x=r(fi)*cos(fi)
y=r(fi)*sin(fi)
Таким образом, мы приходим к параметрическому виду кривой, где параметр fi должен меняться так, чтобы при обходе кривой область оставалась слева.
И пользуемся заклинательными формулами из случая 3.

Однако, для случая полярных координат есть и своя заклинательная формула:

Конечно, плоские фигуры можно вращать и относительно любых других прямых, не только относительно осей OX и OY, но эти манипуляции уже более сложные, поэтому мы ограничимся теми случаями, что были рассмотрены в лекции.

А теперь домашнее задание . Я не буду вам давать конкретные фигуры. Мы уже изучили много функций, и мне хочется, чтобы вы сами что-то такое сконструировали, что вам может понадобится в магической практике. Думаю, четырёх примеров на все указанные в лекции случаи будет достаточно.

Длина дуги кривой — вычисление с примерами решения

Содержание:

Длина дуги в прямоугольных координатах
Длина дуги кривой, заданной параметрически

Длина дуги кривой вычисляется по формуле или (10.18) Длина дуги кривой, заданной параметрически

определяется формулой

Если кривая задана уравнением в полярных координатах

Длина дуги в прямоугольных координатах

Длина s дуги гладкой кривой содержащейся между двумя точками с

абсциссами равна

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Примеры с решением

Пример 1.

Найти длину астроиды

Решение:

Дифференцируя уравнение астроиды, получим:

Поэтому для длины дуги одной четверти астроиды имеем:

Отсюда

Длина дуги кривой, заданной параметрически

Если кривая задана уравнениями в параметрической форме и непрерывно дифференцируемые функции), то длина дуги кривой равна

где —значения параметра, соответствующие концам дуги

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пример 2.

Найти длину одной арки циклоиды (рис. 50)

Пределы интегрирования соответствуют крайним точкам арки циклоиды. Если гладкая кривая задана уравнением в полярных координатах то длина дуги s равна

где — значения полярного угла в крайних точках дуги.

Пример 3.

Найти длину всей кривой (рис. 51). Вся кривая описывается точкой при изменении

Решение:

Имеем поэтому длина всей дуги кривой

Пример 4.

Найти длину дуги астроиды Чему равна длина астроиды при Поскольку астроида симметрична относительно координатных осей (см. рис. 1.36), нам достаточно вычислить длину дуги АВ и полученный результат умножить на 4.

Дифференцируя функцию как неявную, получим

Найдем выражение для подынтегральной функции, входящей в формулу (10.18). Имеем

По формуле (10.18) находим

При получаем при

Пример 5.

Вычислить длину дуги полукубической параболы отсекаемой прямой

Указанная дуга состоит из двух частей, симметричных относительно оси (см. рис. 10.8).

Вычислим длину одной из них. Находя производную функции и подставляя ее в формулу (10.18), получим 4хт)!</х = //и-|хЛ =

Пример 6.

Найти длину дуги одной арки циклоиды

Движущаяся точка описывает одну арку циклоиды (рис. 1.35) когда меняется от Следовательно, в формуле (10.19)

выражение для подынтегральной функции в формуле (10.19). Дифференцируя уравнения циклоиды, получим:

Таким образом,

Подставляя это выражение в формулу (10.19), находим

Итак, Например, при

Пример 7.

Найти длину дуги эвольвенты (развертки) окружности: до произвольной точки

По формуле (10.19) получаем

Развертка окружности изображена на рис. 1.37.

Пример 8.

Найти длину дуги спирали Архимеда г — а<р от полюса О до любой точки М.

По формуле (10.20) получаем

Так как

то

Пример 9.

Вычислить длину кривой

Вся кривая описывается точкой при изменении (рис. 10.11).

Так как находим

Урок по теме моделирование

Коткова Лидия Леонидовна

учитель информатики

ГОУ СОШ № 728 г.Москвы

Урок по теме «Моделирование физического процесса.Циклоида»

Цель: формирование умения построения графической модели в Excel.

Необходимые знания и умения к данному уроку.

Учащиеся должны знать понятия моделирования, модели, формы информационных моделей. Уметь в электронной таблице Excel заполнять ячейки, работать с формулами, строить диаграммы.

ПЛАН УРОКА

Организационный момент.
Постановка задачи.
Эксперимент.
Историческая справка о циклоиде.
Практическая работа: построение графика кривой в Excel.
Повторение.
Задание на дом.

1. Организационный момент (учащиеся сидят за партами). Мы продолжаем изучение темы моделирование. Напомните, что означает моделирование, что называется моделью? Сегодня вы будете строить графическую модель, но сначала вспомним, какие графические модели нам известны? (графы, графики, чертежи, схемы и т.д.).

2. Постановка задачи. Возьмём колесо, обруч, круг. Зафиксируем точку круга. Будем катить круг по прямой. Какую кривую опишет зафиксированная точка круга? Следите внимательно за траекторией точки (в большинстве учащиеся отвечают, что точка опишет окружность, но кто-то догадается и скажет, что точка опишет дугу).

Учитель показывает на большом экране:

(нажмите кнопку «Движение»)

3. Эксперимент. Проверим наше предположение. Прикрепим к обручу или кругу кусок мела и покатим вдоль стены, мел будет вычерчивать «кругообразную» кривую, называемую циклоидой. Одному обороту обруча соответствует одна «арка» циклоиды, если обруч будет катиться дальше, то будут получаться еще и еще арки той же циклоиды.

Учитель показывает на большом экране:

(нажмите кнопку «Движение»)

4. Историческая справка о циклоиде. Первым из учёных обратил внимание на циклоиду Николай Кузанский в XV веке, но серьёзное исследование этой кривой началось только в XVII веке. Название циклоида придумал Галилей (во Франции эту кривую сначала называли рулеттой). Содержательное исследование циклоиды провёл современник Галилея Мерсенн.

Паскаль писал о циклоиде: « … является линией столь обычной, что после прямой и окружности нет более часто встречающейся линии; она так часто вычерчивается перед глазами каждого, что надо удивляться тому, как не рассмотрели её древние… ибо это не что иное, как путь, описываемый в воздухе гвоздём колеса.».

Эта кривая быстро завоевала популярность и подверглась глубокому анализу, в котором участвовали Декарт, Ферма, Ньютон, Лейбниц, братья Бернулли и другие корифеи науки XVII—XVIII веков.

Циклоида имеет ряд удивительных свойств:

ü «Перевёрнутая» циклоида является кривой скорейшего спуска. Более того, она имеет также свойство таутохронности: тяжёлое тело, помещённое в любую точку арки циклоиды, достигает горизонтали за одно и то же время.

ü Период колебаний материальной точки, скользящей по перевёрнутой циклоиде, не зависит от амплитуды, этот факт был использован Гюйгенсом для создания точных механических часов.

Итак, циклоида — плоская кривая, описываемая точкой Р окружности, катящейся без скольжения по неподвижной прямой.

Координаты точки окружности в данный момент времени вычисляются по формулам:

x = a ( t — sin t ),

y = a (1- cos t ),

где а — радиус окружности.

5. Практическая работа (учащиеся садятся за компьютеры). Построим в Excel график этой кривой.

Памятка.

Ø  Для переменной t достаточно ввести значения 0 и 1, навестись мышкой на маркер заполнения и растянуть до нужной ячейки.

Ø  Для переменных x и y надо ввести в ячейки В2 и С2 формулы соответственно (см. рисунок). Потом растянуть ячейки до нужных ячеек с помощью маркера заполнения
 ( в ячейку С2 ввести =5*(1-cos(A2)).

Ø  Для построения графика надо выделить ячейки с В2 по С21. Выбрать пункт меню «Вставка» - «Диаграмма». Выбрать вид – точечная диаграмма.

Дополнительное задание (для тех, кто быстро построил график кривой).

Сделайте так, чтобы значение радиуса a задавалось в отдельной ячейке.

Задайте разные значения a и посмотрите как меняется график кривой.

6. Повторение. Итак, вы сегодня построили графическую модель кривой, которую описывает некоторая точка окружности, катящейся без скольжения по неподвижной прямой.

ü Как называется эта кривая?

ü Какие интересные свойства циклоиды вы запомнили?

ü Предположем, что катится гимнастический обруч. Внешняя и внутренняя точки обруча будут описывать одинаковые кривые?

ответ…

7. Домашнее задание. Поищите в справочниках, интернете, какие существуют ещё интересные кривые. Модели каких кривых мы можем построить в электронной таблице Excel?

Замечательные кривые — Лемниската Бернулли, циклоида, астроида, спираль Архимеда, логарифмическая спираль, эвольвента, трехлепестковая роза, кардиоида — внешний вид и уравнения

Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru: главная страница / / Техническая информация / / Математический справочник / / Геометрические фигуры. Свойства, формулы: периметры, площади, объемы, длины. Треугольники, Прямоугольники и т.д. Градусы в радианы. / / Плоские фигуры. Свойства, стороны, углы, признаки, периметры, равенства, подобия, хорды, секторы, площади и т.д. / / Замечательные кривые — Лемниската Бернулли, циклоида, астроида, спираль Архимеда, логарифмическая спираль, эвольвента, трехлепестковая роза, кардиоида — внешний вид и уравнения

Замечательные кривые — Лемниската Бернулли, циклоида, астроида, спираль Архимеда, логарифмическая спираль, эвольвента, трехлепестковая роза, кардиоида — внешний вид и уравнения.

Источник (в основном): И.В. Бабичева, Т.Е. Болдовская Справочник по математике — Омск 2010

Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:

Если Вы не обнаружили себя в списке поставщиков, заметили ошибку, или у Вас есть дополнительные численные данные для коллег по теме, сообщите , пожалуйста.
Вложите в письмо ссылку на страницу с ошибкой, пожалуйста.

Коды баннеров проекта DPVA.ru
Начинка: KJR Publisiers

Консультации и техническая
поддержка сайта: Zavarka Team

Проект является некоммерческим. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Владельцы сайта www.dpva.ru не несут никакой ответственности за риски, связанные с использованием информации, полученной с этого интернет-ресурса. Free xml sitemap generator

Вычисление криволинейных интегралов: теория и примеры

Криволинейные интегралы — обобщение понятия определённого интеграла на случай, когда областью интегрирования является отрезок некоторой кривой, лежащий в плоскости. Общая запись криволинейного интеграла следующая:

где f(x, y) — функция двух переменных, а L — кривая, по отрезку AB которой происходит интегрирование. Если подынтегральная функция равна единице, то криволинейный интеграл равен длине дуги AB.

Как всегда в интегральном исчислении, криволинейный интеграл понимается как предел интегральных сумм каких-то очень маленьких частей чего-то очень большого. Что же суммируется в случае криволинейных интегралов?

Пусть на плоскости расположен отрезок AB некоторой кривой L, а функция двух переменных f(x, y) определена в точках кривой L. Пусть мы выполняем с этим отрезком кривой следующий алгоритм.

Разделить кривую AB на части точками (рисунки ниже).
В каждой части свободно выбрать точку M.
Найти значение функции в выбранных точках.
Значения функции умножить на
- длины частей в случае криволинейного интеграла первого рода;
- проекции частей на ось координат в случае криволинейного интеграла второго рода.
Найти сумму всех произведений.
Найти предел найденной интегральной суммы при условии, что длина самой длинной части кривой стремится к нулю.

Если упомянутый предел существует, то этот предел интегральной суммы и называется криволинейным интегралом от функции f(x, y) по кривой AB.

Случай криволинейного интеграла
первого рода

Случай криволинейного интеграла
второго рода

Введём следующие ообозначения.

Mi(ζi; ηi) — выбранная на каждом участке точка с координатами.

fi(ζi; ηi) — значение функции f(x, y) в выбранной точке.

Δsi — длина части отрезка кривой (в случае криволинейного интеграла первого рода).

Δxi — проекция части отрезка кривой на ось Ox (в случае криволинейного интеграла второго рода).

d = maxΔsi — длина самой длинной части отрезка кривой.

Криволинейные интегралы первого рода

Исходя из вышеизложенного о пределе интегральных сумм, криволинейный интеграл первого рода записывается так:

Криволинейный интеграл первого рода обладает всеми свойствами, которыми обладает определённый интеграл. Однако есть одно важное различие. У определённого интеграла при перемене местами пределов интегрирования знак меняется на противоположный:

В случае же криволинейного интеграла первого рода не имеет значения, какую из точек кривой AB (A или B) считать началом отрезка, а какую концом, то есть

Криволинейные интегралы второго рода

Исходя из изложенного о пределе интегральных сумм, криволинейный интеграл второго рода записывается так:

В случае криволинейного интеграла второго рода при перемене местами начала и конца отрезка кривой знак интеграла меняется:

При составлении интегральной суммы криволинейного интеграла второго рода значения функции fi(ζi; ηi) можно умножать также на проекции частей отрезка кривой на ось Oy. Тогда получим интеграл

На практике обычно используется объединение криволинейных интегралов второго рода, то есть две функции f = P(x, y) и f = Q(x, y) и интегралы

а сумма этих интегралов

называется общим криволинейным интегралом второго рода.

Вычисление криволинейных интегралов первого рода сводится к вычислению определённых интегралов. Рассмотрим два случая.

Кривая дана в декартовых прямоугольных координатах

Пусть на плоскости задана кривая y = y(x) и отрезку кривой AB соответствует изменение переменной x от a до b. Тогда в точках кривой подынтегральная функция f(x, y) = f(x, y(x)) («игрек» должен быть выражен через «икс»), а дифференциал дуги и криволинейный интеграл можно вычислить по формуле

Если интеграл проще интегрировать по y, то из уравнения кривой нужно выразить x = x(y) («икс» через «игрек»), где и интеграл вычисляем по формуле

Пример 1. Вычислить криволинейный интеграл

где AB — отрезок прямой между точками A(1; −1) и B(2; 1).

Решение. Составим уравнение прямой AB, используя формулу (уравнение прямой, проходящей через две данные точки A(x1; y1) и B(x2; y2)):

Из уравнения прямой выразим y через x:

Тогда и теперь можем вычислять интеграл, так как у нас остались одни «иксы»:

Кривая дана в параметрической форме

Пусть в пространстве задана кривая

Тогда в точках кривой функцию нужно выразить через параметр t () а дифференциал дуги , поэтому криволинейный интеграл можно вычислить по формуле

Аналогично, если на плоскости задана кривая

то криволинейный интеграл вычисляется по формуле

Пример 2. Вычислить криволинейный интеграл

где L — часть линии окружности

находящаяся в первом октанте.

Решение. Данная кривая — четверть линии окружности, расположенная в плоскости z = 3. Она соответствует значениям параметра . Так как

то дифференциал дуги

Подынтегральную функцию выразим через параметр t:

Теперь, когда у нас всё выражено через параметр t, можем свести вычисление данного криволинейного интеграла к определённому интегралу:

Так же, как и в случае криволинейных интегралов первого рода, вычисление интегралов второго рода сводится к вычислению определённых интегралов.

Кривая дана в декартовых прямоугольных координатах

Пусть дана кривая на плоскости уравнением функции «игрек», выраженной через «икс»: y = y(x) и дуге кривой AB соответствует изменение x от a до b. Тогда в подынтегральную функцию подставим выражение «игрека» через «икс» и определим дифференциал этого выражения «игрека» по «иксу»: . Теперь, когда всё выражено через «икс», криволинейный интеграл второго рода вычисляется как определённый интеграл:

Аналогично вычисляется криволинейный интеграл второго рода, когда кривая дана уравнением функции «икс», выраженной через «игрек»: x = x(y), . В этом случае формула для вычисления интеграла следующая:

Пример 3. Вычислить криволинейный интеграл

, если

а) L — отрезок прямой OA, где О(0; 0), A(1; −1);

б) L — дуга параболы y = x² от О(0; 0) до A(1; −1).

Решение.

а) Вычислим криволинейный интеграл по отрезку прямой (на рисунке — синяя). Напишем уравнение прямой и выразим «игрек» через «икс»:

Получаем dy = dx. Решаем данный криволинейный интеграл:

б) если L — дуга параболы y = x², получим dy = 2xdx. Вычисляем интеграл:

В только что решённом примере получили в двух случаях один и тот же результат. И это не совпадение, а результат закономерности, так как данный интеграл удовлетворяет условиям следующей теоремы.

Теорема. Если функции P(x,y), Q(x,y) и их частные производные , — непрерывные в области D функции и в точках этой области частные производные равны, то криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования по линии L, находящейся в области D.

Кривая дана в параметрической форме

Пусть в пространстве дана кривая

Тогда

а в подынтегральные функции подставим

—

выражения этих функций через параметр t. Получаем формулу для вычисления криволинейного интеграла:

Пример 4. Вычислить криволинейный интеграл

если L — часть эллипса

отвечающая условию y ≥ 0.

Решение. Данная кривая — часть эллипса, находящаяся в плоскости z = 2. Она соответствует значению параметра .

Так как

можем представить криволинейный интеграл в виде определённого интеграла и вычислить его:

Если дан криволинейный интеграл и L — замкнутая линия, то такой интеграл называется интегралом по замкнутому контуру и его проще вычислить по формуле Грина.

Пример 6. Вычислить криволинейный интеграл

где L — дуга параболы между точками О(0; 0) и B(2; 2).

Решение. Так как , то .

Теперь можем представить криволинейный интеграл в виде определённого интеграла и вычислить его:

Пример 7. Вычислить криволинейный интеграл

где L — дуга астроиды

в первом квадранте.

Решение. В первом квадранте . Определим дифференциал дуги:

Представляем криволинейный интеграл в виде определённого интеграла и вычисляем его:

Пример 8. Вычислить криволинейный интеграл

где L — первая арка циклоиды

Решение. Циклоида образует первую арку при изменении параметра t от 0 до 2π. Определим дифференциал дуги:

Таким образом,

Подставим в криволинейный интеграл dl и y, выраженные через параметр t и получаем:

Пример 9. Вычислить криволинейный интеграл

где L — отрезок прямой от точки A(1; 1) до точки B(3; 5).

Решение. Составим уравнение прямой AB:

Из полученного уравнения прямой выразим «игрек»:

Поэтому и теперь можем вычислить данный криволинейный интеграл:

Пример 10. Вычислить криволинейный интеграл

где L — первая арка циклоиды

Решение. 2}.2 $ радиус кривизны равен $ r_k = 4r \ sin (t / 2) $.

Если кривая описывается точкой, лежащей вне (внутри) круга, катящегося по линии, то она называется удлиненной (или удлиненной, или вытянутой, рис. B), сжатой (или укороченной, или изогнутой). , Рис. В) циклоида, иногда трохоида.

Рисунок: c027540b

Рисунок: c027540c

Параметрические уравнения

$$ x = rt-d \ sin t, $$

$$ y = r-d \ cos t, $$

где $ d $ — расстояние от точки $ M $ до центра катящейся окружности.

Циклоида — это таутохроническая (или изохронная) кривая, то есть кривая, для которой время спуска материальной точки по этой кривой с определенной высоты под действием силы тяжести не зависит от исходного положения точки. на кривой.

Список литературы

[a1]	Дж. Д. Лоуренс, «Каталог особых плоских кривых», Dover (1972) ISBN 0-486-60288-5 Zbl 0257.50002

Как процитировать эту запись:
Cycloid . Математическая энциклопедия. URL: http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Cycloid&oldid=42494

Эта статья была адаптирована из оригинальной статьи Д.Д. Соколова (составитель), которая появилась в энциклопедии математики — ISBN 1402006098. См. Оригинальную статью «Геометрия

— Как найти параметрическое уравнение циклоиды?»

Эта книга — отличный ресурс. См. Pdf страница 599, актуальная страница 567.

http://www.marystarhigh.com/apps/download/7vb7ETI4n4RtLFWDnZw0xNfQRUSB1swoBHQpP7i1l9pXZS1Y.pdf / Precalculus% 20Book.pdf

Вы должны перейти на страницу перед чтением и во время прочтения остальной части сообщения.

В нем он объясняет все очень связно и разбивает вывод на 4 этапа: нахождение уравнения для местоположения центра круга (координаты x и y), а затем нахождение уравнения для точки P в в ссылке. до центра.

Мы начнем с попытки найти центр круга под углом $ \ theta $.Координата x будет равна пройденному расстоянию, что совпадает с длиной уже пройденного сектора круга. Сектор равен радиусу, умноженному на центральный угол, поэтому центр будет в точке $ x = a \ theta $

Координата y центра в любое время очень проста, потому что центром всегда является высота радиуса, которая равна $ a $. Следовательно, центр находится в координатах $ (a \ theta, a) $ под углом $ \ theta $.

Теперь давайте попробуем найти положение точки P относительно центра .Начнем с координаты x.

Под углом $ \ theta $ P сначала будет отставать, затем прыгать вперед, а затем возвращаться туда, откуда он начался. Следовательно, мы хотим начать с вычитания $ 0a $, затем $ 1a $, затем $ 0a $, затем — $ 1a $, а затем снова вернуться к $ 0 $. Такое поведение демонстрирует $ a \ sin \ theta $, поэтому наша координата x теперь завершена: $ x = a \ theta — a \ sin \ theta = a (\ theta — \ sin \ theta) $

Теперь о координате y. Чтобы получить высоту точки P под углом $ \ theta $, мы замечаем, что она начинается ниже центра, затем идет выше центра, а затем снова ниже.Следовательно, мы хотим вычесть $ 1a $, затем $ 0a $, затем $ -1a $ (добавить $ 1a $), а затем снова вернуться к $ 0a $. Образец $ (1, 0, -1, 0, 1) $ демонстрируется $ a \ cos \ theta $, поэтому мы хотим вычесть это из центра, давая нам $ y = a — a \ cos \ theta $ или $ y = a (1 — \ cos \ theta) $.

Итак, мы закончили. Наши два уравнения: $$ x = a (\ theta — \ sin \ theta) $$ $$ y = a (1 — \ cos \ theta) $$.

Циклоида — Mathonline

Циклоида — это особый тип параметрической кривой, которая очерчивается точкой на окружности круга, когда он катится по прямой.График циклоиды выглядит так:

Сначала определим центр круга. Что касается координаты x, обратите внимание, что дуга, образованная, когда точка P катится вдоль оси x, равна расстоянию между началом координат и центром круга (это расширено в следующем разделе), а также обратите внимание, что y -координата окружности никогда не меняется и остается на длине r. Таким образом, мы получаем, что, поскольку длина дуги равна rΘ, то центр окружности равен C (rΘ, r)

x-Координаты циклоиды

Чтобы определить параметрическое уравнение для циклоиды, давайте воспользуемся углом тета, образованным перпендикуляром, опущенным из центра круга, и положением некоторой точки P, которая очерчивает круг по мере увеличения теты.Мы будем использовать тэту, потому что она меняется так же, как t со временем. Диаграмма ниже представляет собой визуальное представление того, как мы определим циклоиду

Сначала давайте найдем функцию x (t), чтобы описать, как x-координата циклоиды изменяется при изменении теты. Обратите внимание, что точка P начинается в начале координат и удаляется на расстояние, равное длине отрезка OC. Однако также обратите внимание, что дуга окружности, образованной тета, также равна отрезку OC, потому что он перекатился по оси x.Напомним, что длина дуги окружности:

(1)

\ begin {align} s = r \ theta \ end {align}

Нам не нужно знать точное измерение радиуса, а тета варьируется. Так просто:

(2)

\ begin {align} OC = r \ theta \ end {align}

Однако длина OC — это не то, что нам нужно. Нам нужно вычесть длину сегмента PC, чтобы получить длину OP = x. В этом случае мы можем использовать тригонометрию:

(3)

\ begin {align} \ sin \ theta = \ frac {PC} {r} \\ r \ sin \ theta = PC \ end {align}

Таким образом, координаты x при изменении теты равны:

(4)

\ begin {align} OC — PC \\ = r \ theta — r \ sin \ theta \\ = r (\ theta — \ sin \ theta) \ end {align}

Координаты Y циклоиды

Мы будем использовать аналогичные методы для определения координаты y при изменении теты.Сначала мы признаем, что длина опущенного перпендикуляра от центра круга до оси x равна r, поскольку это просто радиус круга. Теперь мы хотим вычесть расстояние от центра до координаты y. Еще раз, мы можем использовать тригонометрию, чтобы получить длину rcosΘ. Таким образом, получаем, что координата y равна:

(5)

\ begin {align} y = r — r \ cos \ theta \\ y = r (1 — \ cos \ theta) \ end {align}

Мы узнали, что циклоиду можно определить двумя параметрическими уравнениями, а именно:

(6)

\ begin {align} x = r (\ theta — \ sin \ theta) \ quad, \ quad y = r (1 — \ cos \ theta) \ end {align}

Поскольку точка, очерчивающая циклоиду, P, начинается на оси x и вращается от оси x, имеет смысл, что циклоиде требуется расстояние 2πr, чтобы снова пересечь ось x.Таким образом, одна дуга циклоиды возникает после того, как происходит расстояние 2πr бросков цикла.

Давайте теперь проанализируем, являются ли эти арки полукругами. Мы знаем, что максимальная высота круга будет в два раза больше радиуса, или 2r, что также будет максимальной высотой арки. Мы только что определили расстояние от конечной точки одной дуги до другой конечной точки равным 2πr. Ясно, что 2r ≠ 2πr / 2 и 2r ≠ πr, поэтому эти дуги не являются полукругами.

10.4 параметрических уравнения

Когда мы вычисляли производную $ dy / dx $ с использованием полярных координат, мы использовали выражения $ x = f (\ theta) \ cos \ theta $ и $ у = е (\ тета) \ грех \ тета $. Эти два уравнения полностью определяют кривой, хотя форма $ r = f (\ theta) $ проще. В развернутой форме преимущество в том, что его можно легко обобщить для описания более широкого диапазона кривых, чем можно указать в прямоугольных или полярных координатах.

Предположим, что $ f (t) $ и $ g (t) $ — функции. Тогда уравнения $ x = f (t) $ и $ y = g (t) $ описывают кривую на плоскости.На случай, если в уравнениях полярных координат переменная $ t $ заменяется на $ \ theta $, имеющий естественную геометрическую интерпретацию. Но $ t $ в general — это просто произвольная переменная, часто называемая в этом случае a параметр , и этот метод задания кривой известен как параметрическое уравнение . Один Важная интерпретация $ t $ — раз . В этой интерпретации уравнения $ x = f (t) $ и $ y = g (t) $ задают положение объекта в время $ t $.

Пример 10.2 $, значит, путь лежит на этой параболе. Путь не является всей параболой, однако, поскольку $ x = \ cos t $ всегда от $ -1 $ до $ 1 $. Теперь легко увидеть, что объект колеблется. вперед и назад по параболе между конечными точками $ (1,1) $ и $ (- 1,1) $, и находится в точке $ (1,1) $ в момент $ t = 0 $. $ \ квадрат $

Иногда довольно легко описать сложный путь в параметрические уравнения, когда выражения в прямоугольных и полярных координатах сложно или невозможно придумать.

Пример 10.4.2 Колесо радиуса 1 катится по прямой, скажем, $ x $ — ось. Точка на ободе колеса очерчивает кривую, называемую циклоида. Предположим, что точка начинается в начале координат; найти параметрические уравнения для кривой.

На рисунке 10.4.1 показано построение кривой. (щелкните ссылку AP, чтобы увидеть анимацию). Колесо показано в отправная точка, и снова после того, как она прокатится примерно через 490 градусов. В качестве параметра $ t $ возьмем угол, через который колесо повернулось, измерено, как показано по часовой стрелке от линии, соединяющей центр колеса к земле.Поскольку радиус равен 1, центр колеса имеет координаты $ (t, 1) $. Мы стремимся написать координаты точки на ободе как $ (t + \ Delta x, 1 + \ Delta y) $, где $ \ Delta x $ и $ \ Delta y $ показаны на рисунке 10.4.2. Эти значения почти равны синусу и косинусу угол $ t $, из определения единичной окружности синуса и косинус. Однако требуется некоторая осторожность, потому что мы измеряем $ t $ от нестандартной стартовой линии и по часовой стрелке, как в отличие от обычного направления против часовой стрелки.4 $? Если $ t $ есть интерпретируется как время, описывает, как объект движется по кривой.

Пр. 10.4.2 Какая кривая описывается уравнением $ x = 3 \ cos t $, $ y = 3 \ sin t $? Если $ t $ есть интерпретируется как время, описывает, как объект движется по кривой.

Пр. 10.4.3 Какая кривая описывается уравнением $ x = 3 \ cos t $, $ y = 2 \ sin t $? Если $ t $ есть интерпретируется как время, описывает, как объект движется по кривой.

Пр. 10.4.4 Какая кривая описывается уравнением $ x = 3 \ sin t $, $ y = 3 \ cos t $? Если $ t $ есть интерпретируется как время, описывает, как объект движется по кривой.2 $. Если $ t $ есть интерпретируется как время, описывает, как объект движется по кривой.

Пр. 10.4.6 Колесо радиуса 1 катится по прямой, скажем, $ x $ — ось. Точка $ P $ находится на полпути между центром колесо и обод; предположим, что $ P $ начинается в точке $ (0,1 / 2) $. Как колесо катится, $ P $ изгибается; найти параметрические уравнения для изгиб. (отвечать)

Пример 10.4.7 Колесо радиуса 1 катится по внешней стороне круга радиус 3.Точка $ P $ на ободе колеса очерчивает кривую называется гиперциклоидой , как указано в рисунок 10.4.3. Предполагая, что $ P $ начинается в точке $ (3,0) $, найти параметрические уравнения для кривой. (отвечать)

Рисунок 10.4.3. Гиперциклоида и гипоциклоида.

Пр. 10.4.8 Колесо радиуса 1 катится по внутренней части окружность радиуса 3. Точка $ P $ на ободе колеса очерчивает кривая называется гипоциклоидой , как показано на рисунок 10.4.3. Предполагая, что $ P $ начинается в точке $ (3,0) $, найти параметрические уравнения для кривой. (отвечать)

Пример 10.4.9 Образована эвольвента окружности. следующим образом: Представьте, что длинная (то есть бесконечная) струна плотно намотана по кругу, и что вы беретесь за конец веревки и начинаете размотайте его, удерживая шнур натянутым. Конец струны прослеживается эвольвента. Найдите параметрические уравнения для этой кривой, используя круг радиуса 1, и предполагая, что струна раскручивается против часовой стрелки и конец строки изначально находится в $ (1,0) $.На рисунке 10.4.4 показана часть кривой; в пунктирные линии представляют строку в несколько разное время. (отвечать)

Рисунок 10.4.4. Эвольвента круга.

Циклоида

Циклоида — это геометрическое место точки на ободе Круга Радиуса, катящегося по прямой Линия. Он был изучен и назван Галилеем в 1599 году. Галилей попытался найти этот район с помощью взвешивание кусков металла, вырезанных в форме циклоиды. Торричелли, Ферма и Декарт все нашел Площадь.Циклоида также была изучена Робервалем в 1634 году, Реном в 1658 году, Гюйгенс в 1673 г. и Иоганн Бернулли в 1696 г. Роберваль и Рен обнаружили Длина дуги (архив MacTutor). Зубья шестерни также были сделаны из циклоидов, как впервые было предложено Дезаргом в 1630-е годы (Канди и Роллетт, 1989).

В 1696 году Иоганн Бернулли призвал других математиков найти кривую, которая решает Проблема брахистохрона, зная, что решение — циклоида. Лейбниц, Ньютон, Якоб Бернулли и Л’Оспиталь решили задачу Бернулли.Циклоида также решает проблему таутохрон. Из-за частоты, с которой он провоцировал ссоры между математикам 17 века циклоида стала известна как « Елена Геометров » (Boyer 1968, стр. 389).

Циклоида — это Катакостик Круга для Сияющей Точки на окружности, как показано Якоб и Иоганн Бернулли в 1692 году. Каустика циклоиды, когда лучи параллельны оси и , является циклоида с вдвое большим количеством дуг. Радиальная кривая циклоиды — это круг.Эволют и Инвольта циклоиды — тождественные циклоиды.

Если у циклоиды есть куспид в начале координат, ее уравнение в декартовых координатах имеет вид

(1)

В параметрической форме это становится

Если циклоида перевернута с острием в, (2) и (3) становятся

(4)

или

(знак перевернут).

Производные параметрического представления (2) и (3) являются

Квадраты производных равны

поэтому длина дуги одного цикла равна

Теперь давай так.потом

Длина дуги, кривизна и тангенциальный угол равны

Площадь под одним циклом равна

Нормальный

(18)

См. Также Куртат Циклоида, Циклид, Циклоида Эволют, Циклоида Эволюция, Эпициклоида, Гипоциклоида, выпуклая циклоида, трохоида

Список литературы

Богомольный, А. Циклоиды. http: // www.cut-the-knot.com/pythagoras/cycloids.html.

Бойер, К. Б. История математики. Нью-Йорк: Уайли, 1968.

Канди, Х. и Роллетт, А. Математические модели, 3-е изд. Стрэдброк, Англия: Tarquin Pub., 1989.

Грей А. « Циклоиды ». §3.1 в Современная дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. Бока-Ратон, Флорида: CRC Press, стр. 37-39, 1993.

Лоуренс, Дж. Д. Каталог специальных плоских кривых. Нью-Йорк: Довер, стр.192 и 197, 1972 г.

Ли, X. « Циклоида ». http://www.best.com/~xah/SpecialPlaneCurves_dir/Cycloid_dir/cycloid.html.

Локвуд, Э. Х. Циклоида. Гл. 9 в Книга кривых. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета, С. 80-89, 1967.

Архив истории математики MacTutor. « Циклоида ». http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Cycloid.html.

Muterspaugh, J .; Водитель, Т .; и Дик, Дж. Э. Циклоида и таутохронизм.» http://php.indiana.edu/~jedick/project/intro.html.

Паппас, Т. « Циклоида — Елена геометрии ». Радость математики. Сан-Карлос, Калифорния: Wide World Publ./Tetra, С. 6-8, 1989.

Вагон, С. « Катящиеся круги ». Гл. 2 в Mathematica в действии. New York: W. H. Freeman, стр. 39-66, 1991.

Йейтс, Р. К. « Циклоида ». Справочник по кривым и их свойствам. Анн-Арбор, Мичиган: Дж. У. Эдвардс, стр. 65-70, 1952.

циклоида

Кривая образована геометрическим местом точки, прикрепленной к окружности (цикл -> циклоида), которая катится по прямая ¹⁾. Другими словами: сочетание линейного (термин t) и кругового движения (термины sin t и cos т).
В уравнении Уивелла кривую можно записать как s = sinφ.
Старый грек уже знал эту кривую.

Значение параметра ‘a’ определяет начальную точку относительно окружности:

(обыкновенная) циклоида
Начальная точка находится на окружности (a = 1).
Когда начальная точка не находится на окружности, кривая называется трохоидой:
циклоида вытянутая (фр. Cyclode аллонж)
Начальная точка находится вне круга (a> 1).
куртановая циклоида (фр.циклод Раккурси)
Начальная точка находится внутри круга (a <1).

Если у вас есть твердая рука, вы можете сделать свою собственную циклоиду на доске, совмещение линейного и кругового движения.

Когда циклоида катится по линии, путь центра представляет собой эллипс. Для обычной циклоиды результатом является круг.

(обыкновенная) циклоида

В Голландии мы используем для этой кривой также название «колесная линия» ²⁾, быть в трек, за которым следует точка на велосипедное колесо.

Кривая имеет два замечательных качества:

Первое качество состоит в том, что циклоида является брахистохрона ³⁾, то есть кривая между двумя точками в вертикальная плоскость, по которой бусине нужно пройти наименьшее время ⁴⁾. Галилей (который дал кривой название в 1699 г.) заявил в 1638 г. (ложно), что брахистохрона должна быть дугой окружности. А в июне 1696 г. Иоганн Бернулли бросил вызов своему брату Якобу Бернулли — оба были соперниками — решить проблема.Декабрь 1696 г. Иоганн ⁵⁾ повторил его в «Acta eruditorum» с просьбой прислать решения до Пасхи 1697 года. Иоганн и Якоб , а также Лейбниц , Ньютон и де Л’Питаль . эта проблема.
Это одна из первых вариационных задач, подлежащих изучению.
Фактически, эта кривая противоположна (отражается по оси x) показанной изгиб. Без всякой формулы можно понять, что по этой кривой путь быстрее чем по прямой.Для циклоиды результирующая составляющая силы тяжести равна побольше, а так разгон и скорость, сразу после старта. Также легко экспериментально проверить, что путь по прямой занимает больше времени.
Эти знания можно использовать во время катания на лыжах: быстрее выбрать спуск, чтобы вы набираете скорость, чем избегаете склонов.

Второе качество — циклоида — это таутохрона (иногда называют: изохрона ) ⁶⁾.Это означает, что бусинка вдоль кривой требует в то же время, чтобы спуститься, независимо от отправной точки. Чудесно! Это был христианский Гюйгенс , открывший этот факт в 1659 году. В своем трактате «Horologium Oscilatorium» (1673) он конструирует часы с маятником переменной длины. Маятник движется между две щеки, обе в форме циклоиды. Раскачиваясь наружу, маятник укорачивает. Huygens использовал идею о том, что эвольвента циклоиды — это та же циклоида (конечно, справедливо и для эволюции).
Эта конструкция компенсировала неравномерность нормального маятника. Для нормального маятника время колебания только в первом приближении не зависит от положение в сторону ⁷⁾. Гюйгенс был весьма впечатлен, он написал выше доказательства: «magna nec ingenijsvestigata priorum», чтобы быть переводится как: «это что-то великое, никогда прежде не исследованное гением».
В своих экспериментах Huygens также использовал эвольвенту круга в его маятниковых часах, чтобы приблизиться к циклоидальному пути.

Однако использование принципа таутохрон при проектировании маятниковых часов также представляло много механических проблем, чтобы сделать это обычным явлением.
О таутохронах можно также прочитать в «Моби Дике», книге Германа Мелвилла, в трактате о котле для кипячения китового жира.

Вот некоторые интересные свойства циклоиды:

Cusa был первым, кто изучил кривую в наше время, пытаясь найдите площадь круга. Mersenne (1599) дал первое правильное определение циклоиду, он попытался найти область под кривой, но потерпел неудачу. Он поставил вопрос Робервалю , который решил его в 1634 году. Позже Торричелли независимо нашел площадь кривой.
Декарт нашел, как провести касательную к циклоиде, он бросил вызов Роберваль найти решение Робервалю не удалось, а вот Ферма удалось. Также Viviani нашел касательную.

В августе 1658 года Pascal опубликовал задание, предлагающее два приза, под именем Amos Dettonville . Он задал 9 вопросов о циклоиде, спрашивая площадь и центр тяжести ее сегмента.
Говорят, что для Паскаля изучение кривой было хорошим развлечением от сильной зубной боли. Введены
Wallis и Laloure , обе попытки не увенчались успехом. Sluze , г. Ricci , Huygens , Wren и Fermat не участвовали в конкурсе, но все написали свое решение на Паскале.10 октября 1658 г. Паскаль опубликовал свой собственный решения, вместе с расширением результата Wren .
Газета называлась «Histoire de la Roulette, appel autrement Trochoide ou Cycloide».

Desargues предложил зубья шестерен в форме циклоиды (около 1635 г.).

Якоб и Иоганн Бернулли показал (1692 г.), что циклоида является катакостическим круга, где световые лучи исходят от окружности.
Циклоидная дуга с лучами, перпендикулярными оси x, дает две циклоидные дуги.

Итак, циклоида была очень популярна среди математиков 17 века. Поэтому позже кривой было присвоено имя кривой ссоры , Елена Геометров и яблоко раздора ⁹⁾.

В музее фортепиано в Хопкинтоне ¹⁰⁾ можно найти пианино, задний край которого имеет форму циклоиды. В Создатель Генри Линдеман назвал инструмент «Циклоида». Гранд », конец 1800-х гг.
Но при взгляде сверху видно, что его форма отличается от реальной циклоиды:

Шестерни имеют циклоидную форму, могут быть приближены серией дуг окружности. Также можно использовать числовые таблицы, например, George Одонтограф Гранта , который также является названием инструмента для прекращения производства очертания зубьев шестерен.

Кривая представляет собой пойнт-рулетку.

Теперь отслеживаемая точка не лежит на окружности.Когда точка лежит снаружи круг, кривая называется вытянутая циклоида (или расширенная циклоида ). Когда точка лежит внутри катящегося круга, кривая называется скругленной циклоидой . (или сжатая циклоида ). Последняя кривая следует клапаном велосипеда. Вот откуда название клапана , кривая для циклоиды от.

Первыми исследовали кривую Drer (1525) и Rmer (1674).

с винтом Voith-Schneider (VSP), Впервые испытанный в 1927 году, корабль способен точно маневрировать и уходить в сторону. Пропеллеры вращаются вокруг оси, перпендикулярной движению, так что они следовать по пути циклоиды. Положение лопастей определяет направление судна, и в его основе лежит тот же принцип действия плавника рыбы.
Пропеллер называется циклоидальным или трохоидальным винтом.

банкноты

1) Пусть есть круг с центром (0, R) и точка (p, 0) в качестве отправной точки для броска.Тогда координаты циклоида, как функция угла наклона t

2) На голландском языке: radlijn

3) Brakhisto (Греч.) Или brachus (Лат.) = Короткий, chronos (Гр.) = Время

4) На высоте y шарик приобретает скорость √gy, поэтому что минимизация времени пробега означает минимизацию интеграла
.
Решение этого уравнения приводит к дифференциальному уравнению y (1 + y ‘²) = c к циклоиде.

5) В то время профессор математики в Гронингене, Голландия

6) Тауто = равно, хронос = время: кривая, по которой нужно следовать за равное время.

7) Правильное соотношение дает полный эллиптический интеграл первого рода.

8) На английском языке: История рулетки, также называемая трохоидой или циклоидой.

9) Елена и яблоко раздора относятся к Троянской войне.
Голландский для кривой ссоры: kibbelkromme.

10) Хопкинтон, штат Массачусетс, около 1/2 часа. к западу от Бостона, см. веб-сайт Музея пианино.

11) Trochus (лат.) = Обруч.
Иногда значения циклоиды и трохоиды меняют местами: трохоид для общего случай, циклоида только для ситуации, когда начальная точка лежит на окружности.

Циклоида

Педаль циклоиды.

Блокнот Mathematica для этой страницы .

радиальный эволюционировать отрицательная педаль педаль едкий параллельный инверсия производная циссоид по линии раковина строфоид

История

Описание

Циклоида (таутохрона, брахистохрона) — член циклоидального семейства кривых.(См .: Curve Family Index) Выпуклые (расширенные) или свернутые (сжатые) циклоиды также известны как трохоиды. На этой странице мы используем самое узкое определение термина циклоида, определяемого как след точки на окружности круга, катящийся по линии без проскальзывания.

На правом рисунке c — катящийся круг. P — точка отслеживания. A — точка соприкосновения с линией. PA — нормаль в точке P. E — отражение P через A. Географическое место E — эволюция циклоиды.

По следам циклоиды По следам циклоиды по касательной

Формула

Параметрические: {t — Sin [t], 1 — Cos [t]}

Недвижимость

Каустик

Катакостика циклоиды относительно параллельных лучей, проходящих под ее дугой, — это две меньшие циклоиды. (Или диакустика циклоиды с лучами, идущими сверху.)

Катакустика с вертикальными лучами

Эволютный и инволютный

Эволюция циклоиды — это другая циклоида. На первом рисунке показаны последовательные эволюции циклоиды.Второй соединяет точки на кривой с их центром соприкасающихся кругов.

Слева: зеленая циклоида — это эволюция красной циклоиды, эволюция синей циклоиды. Справа: нормали желтой циклоиды (зеленые) приведены к центру соприкасающегося круга. Окончания образуют его эволюционную кривую, представляющую собой еще одну циклоиду. Построение эволюции циклоиды

Эвольвента циклоиды также является циклоидой. И эвольвентные, и эвольвентные свойства легко подтверждаются прямым применением формулы и упрощают результат.

Радиальный

Радиал циклоиды — это круг.

Создание радиального Радиал циклоиды

Связанные веб-сайты

См .: Веб-сайты на плоских кривых, книги о плоских кривых .

Роберт Йейтс: кривые и их свойства .

Архив истории математики MacTutor

Brombacher Aarnout, с фильмами GSP и QuickTime. http://jwilson.coe.uga.edu/EMT668/EMT668.Student.Folders/BrombacherAarnout/EMT669/cycloids/cycloids.html

Джозеф Портни.

Плоские кривые — лемнискаты, циклоиды, гипоциклоиды, цепная линия, трохоида

Циклоида — удивительная кривая, над которой не властно время | Математика не для всех

Что такое циклоида ?

Таутохронность циклоиды

Вращение вокруг оси oy объем. Объём тела, полученного вращением арки циклоиды

Как найти площадь в этом случае?

Формула объёма тела вращения получается так же просто:

найти площадь эллипса

Как найти объем тела вращения,

Длина дуги кривой — вычисление с примерами решения

Длина дуги в прямоугольных координатах

Примеры с решением

Пример 1.

Длина дуги кривой, заданной параметрически

Пример 3.

Пример 4.

Пример 5.

Пример 6.

Пример 7.

Пример 8.

Пример 9.

Урок по теме моделирование

Вычисление криволинейных интегралов: теория и примеры

Криволинейные интегралы первого рода

Криволинейные интегралы второго рода

Кривая дана в декартовых прямоугольных координатах

Кривая дана в параметрической форме

Кривая дана в декартовых прямоугольных координатах

Кривая дана в параметрической форме

Список литературы

— Как найти параметрическое уравнение циклоиды?»

Циклоида — Mathonline

x-Координаты циклоиды

Координаты Y циклоиды

10.4 параметрических уравнения

Циклоида

циклоида

(обыкновенная) циклоида

Циклоида

История

Описание

Формула

Недвижимость

Каустик

Эволютный и инволютный

Радиальный

Связанные веб-сайты

Добавить комментарий Отменить ответ