Циклоида — Математическая энциклопедия

Плоская трансцендентная кривая, представляющая собой траекторию точки круга, катящегося по прямой (рис. 2}.2 $ радиус кривизны равен $ r_k = 4r \ sin (t / 2) $.

Если кривая описывается точкой, лежащей вне (внутри) круга, катящегося по линии, то она называется удлиненной (или удлиненной, или вытянутой, рис. B), сжатой (или укороченной, или изогнутой). , Рис. В) циклоида или иногда трохоида.

Рисунок: c027540b

Рисунок: c027540c

Параметрические уравнения

$$ x = rt-d \ sin t, $$

$$ y = r-d \ cos t, $$

где $ d $ — расстояние от точки $ M $ до центра катящейся окружности.

Циклоида — это таутохроническая (или изохронная) кривая, то есть кривая, для которой время спуска материальной точки по этой кривой с определенной высоты под действием силы тяжести не зависит от исходного положения точки. на кривой.

Список литературы

Как процитировать эту запись:
Cycloid . Математическая энциклопедия. URL: http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Cycloid&oldid=42494

Циклоиды

Циклоиды, гипоциклоиды, эпициклоиды

Гипотрохоиды и эпитрохоиды

(расследование движения с использованием GSP)

Поскольку колесо движется по прямой линии, геометрическое место любой точки на его окружность будет знакомой кривой, известной как циклоида (щелкните фильм кнопка для фильма).

Когда колесо катится по внутренней части круга, точки на окружности кривых следа колеса, известных как гипоцилкоиды, тогда как когда колесо катится на внешней стороне круга эпициклоиды образуются точками на окружность колеса. Наконец, кривые, очерченные точками на внутренней стороне колеса называются гипотрохоидами и эпитрохоидами качения колеса. внутри и снаружи круга соответственно.

Меня интересует эта статья, чтобы увидеть, как мы можем использовать Sketchpad Geometer. (GSP) как инструмент для изучения свойств этих фигур.Я утверждаю, что студенты узнают намного больше о цифрах, написав скрипты GSP рисовать их, чем на лекции или демонстрации.

Позвольте мне описать, что я ожидаю от обучения:

1. Понимание проблемы

GSP не имеет функции, с помощью которой вы могли бы сказать ему «катить колесо». около круга. Тогда первая задача — найти способ, которым это может быть достигнутым, и для этого ученик должен будет по-настоящему понять проблема.То есть нам нужно каким-то образом смоделировать катящееся колесо. круг — поскольку катящееся колесо касается круга, когда оно катится, кажется ясно, что когда колесо совершит один оборот, оно должно было коснуться часть круга равна длине окружности колеса.

На этом рисунке катящееся колесо имеет радиус в одну треть окружности. и после одного оборота колеса он «коснулся» одной трети круга. Также важно отметить, что радиус колеса прошел на 360 градусов, но угол между начальной точкой на круг и эта точка соприкосновения составляют 360/3 = 120 градусов!

2.Строительство

Теперь, когда мы поняли проблему, можно приступить к построению. Ключом к построению является тот факт, что мы можем анимировать два аспекта эскиза GSP одновременно, и мы можем быть уверены, что движущаяся точка в одной анимации делает это с той же скоростью, что и точка в другой анимации (при условии, что мы выбрали ту же настройку (быстро / нормально / медленно)).

Основа строительства:

Дан центр окружности O и радиус OA, постройте точку T на окружности. круга.Колесо построено на радиусе OT с центром B ‘. Теперь проще всего анимировать T вокруг центра круга O во время анимации. некоторая точка (S ‘) вокруг колеса — GSP этого не допускает (так как колесо является результатом точки T, и вы не можете анимировать то, что является результат другой анимации), и мы должны ввести второй круг.

Отсюда построение: даны OA и окружность (центр O проходит через A) построить еще одну прямую O’A ‘= OA и некоторую точку B на отрезке О’А ‘.Колесо построено на радиусе OT так, что O’B = B’T, где T — произвольная точка на окружности. S — произвольная точка на изображении колесо (центр круга O ‘и проходящий через B). Наконец, мы строим S ‘так что угол BO’S = угол TB’S’, и если мы теперь анимируем T по кругу и S вокруг изображения колеса, мы получаем желаемую кривую, отслеживая точки’.

Эта конструкция обеспечивает основу всех желаемых кривых. исследовать……

ОДНАКО ………

В конструкции есть небольшая проблема с точностью (что, к сожалению, является функцией программного обеспечения). Есть определенные свойства этих кривых, которые хорошо известны, а именно: В случае гипоцилкоидов (и эпицилкоиды), если R / r — это отношение радиуса круга к радиусу радиус колеса и R / r рационально, тогда R будет представлять число куспидов, а r указывает, сколько раз колесо должно перекатываться кружок до завершения рисунка (на рисунках ниже R / r = 3, 4 и 2 соответственно)

Использование нашей конструкции, к сожалению, приводит к некоторым неточностям… (для обсуждения из этих неточностей нажмите здесь почитать переписку от разработчика)

Другая конструкция

Если мы вернемся к нашим первоначальным замечаниям, мы вспомним (а если это не было тогда очевидно — это должно быть после первого построения), что есть взаимосвязь между углом поворота колеса и угол круга, через который он переместился, можно определить как: угол TBS = R / r * угол TOA (а для полной точности: угол TBS = — (R / r * угол ТОА)).

Использование этой техники решает проблему неточности описанной ранее. Однако, к сожалению, он вводит еще одно: в случае, когда R / r рационально и r не равно 1, получаем (в случае R / r = 3/2):

Обратите внимание, что локус неполный! Это легко понять, если учесть что на самом деле происходит с нашей конструкцией:

В первом случае (при R / r = 3) при приближении угла TOA к 180 градусам — скажем, под углом 179 градусов TBS = — (3 * 179) = — 537 градусов, затем как угол TOA проходит 180 градусов, то есть 181 градус. GSP измеряет угол как -179. градусов и TBS = — (3 * — 179) = 537 градусов.Благо углы — (3 * 181) = 573 и 537 — это действительно одно и то же результирующее движение BS и на эскиз не влияет. Во втором случае (с R / r = 3/2) мы рассмотрим тот же сценарий, когда TOA изменится с 178 градусов до 182 (= — 178) градусов, TBS изменяется с — 267 градусов (- (3/2 * 178) = — 267) до (- (3/2 * -178) = 267 градусов, на этот раз 267 градусов и -267 градусов дают такое же результирующее движение BS и, следовательно, новую проблему!

СРАВНЕНИЕ КОНСТРУКЦИЙ

Каждая конструкция имеет некоторые преимущества и, следовательно, некоторую ценность.Величайший Преимущество второй конструкции в том, что мы можем построить гипоциклоиду как локус, который позволяет нам наблюдать влияние изменения R / r без приходиться каждый раз анимировать кривую. Нажмите кнопку для Quicktime фильм, иллюстрирующий это замечание:

Одно важное замечание, которое вы должны были сделать при просмотре фильм был той же самой ошибкой, которая вызывает проблему, когда r в R / r не 1 также вызывает проблемы в этой ситуации — сравните следующий отрывок из фильм с соответствующей сценой, используя другую нашу конструкцию (R / r = 7/2 в каждом случае):

Итак, остается выбор — использовать первую конструкцию, несмотря на ее свойственный недостаток (и повысить точность, внося некоторые изменения в фактические размеры R для каждого случая) ИЛИ используйте вторую конструкцию, которая технически ошибочен, но дает более точную иллюзию в определенных параметры (R / r имеет r = 1).

3. Исследование

Теперь мы готовы исследовать свойства циклоид, Гипоциклоиды, эпициклоиды, гипотрохоиды и эпитрохоиды

Для целей этой статьи я предоставлю только иллюстрации (оба рисунки и фильмы) и наброски GSP (для читателя поиграться).

ГИПОЦИКЛОИДЫ

Чтобы получить доступ к эскизу GSP, используемому для рисования этих гипоциклоидов, щелкните GSP кнопка:

об / об = 2:

Диаметр колеса по астроиде:
R / r = 4: R / r = 4/3

В случае R / r = 4/3 мы получаем точно такую ​​же гипоциклоиду, что и в случае R / r = 4 (хотя на эскизе не совсем ясно), но след диаметр колеса совсем другой!

ЭПИЦИКЛОИДЫ

Чтобы получить доступ к эскизу GSP, используемому для рисования этих эпициклоидов, щелкните GSP кнопка:

R / r = 1 — эта эпициклоида называется кардиоидой.

Кардиоид также можно рассматривать, используя произвольные точки на окружность фиксированного круга как центры кругов, проходящих через острие кардиоиды, как на рисунке выше.Мы можем дальше думать о кардиоида создается кругом, катящимся по фиксированному кругу и имеющий в два раза больший радиус неподвижного круга (рассмотрим гипоциклоиду конструкция с R / r = 1/2)

ГИПОТРОХОИДЫ

Чтобы получить доступ к эскизу GSP, используемому для рисования этих гипотрохоидов, щелкните GSP кнопка:

R / r = 2, r / f = 2 R / r = 3, r / f = 1/2

R / r = 8, r / f = 1/4

ЭПИТРОХОИДЫ

Чтобы получить доступ к эскизу GSP, используемому для рисования этих эпитрохоидов, щелкните GSP кнопка:

R / r = 3/2, r / f = 2

R / r = 2, r / f = 1/2

R / r = 6, r / f = 1/4

Две ссылки, которые стоит посетить

А Визуальный словарь специальных плоских кривых

Брайан Страница интерактивного трохоида Эванса

Вернуться на страницу Aarnout EMT669

циклоида

Кривая образована геометрическим местом точки, прикрепленной к окружности (цикл -> циклоида), которая катится по прямая ¹⁾ .Другими словами: комбинация линейного (термин t) и кругового движения (термины sin t и cos т).
В уравнении Уивелла кривую можно записать как s = sinφ.
Старый грек уже знал эту кривую.

Значение параметра ‘a’ определяет начальную точку относительно окружности:

• (обыкновенная) циклоида
  Начальная точка находится на окружности (a = 1).
  Когда начальная точка не находится на окружности, кривая называется трохоидой:
• циклоида удлиненная (фр.циклод аллонж)
  Начальная точка находится вне круга (a> 1).
• куртатная циклоида (фр. Cyclode raccourcie)
  Начальная точка находится внутри круга (a <1).

Если у вас есть твердая рука, вы можете сделать свою собственную циклоиду на доске, совмещение линейного и кругового движения.

Когда циклоида катится по линии, путь центра представляет собой эллипс. Для обычной циклоиды результатом является круг.

(обыкновенная) циклоида

В Голландии мы используем для этой кривой также название «колесная линия» ²⁾ , быть в трек, за которым следует точка на велосипедное колесо.

Кривая имеет два замечательных качества:

Первое качество состоит в том, что циклоида является брахистохрона ³⁾ , то есть кривая между двумя точками в вертикальная плоскость, по которой бусина проходит наименьшее время ⁴⁾ . Галилей (который дал кривой название в 1699 г.) заявил в 1638 г. (ложно), что брахистохрона должна быть дугой окружности. А в июне 1696 г. Иоганн Бернулли бросил вызов своему брату Якобу Бернулли — оба были соперниками — решить проблема. Декабрь 1696 г. Иоганн ⁵⁾ повторил его в «Acta eruditorum» с просьбой прислать решения до Пасхи 1697 года. Кроме того, Иоганн и Якоб , а также Лейбниц , Ньютон и де Л’Питаль решены проблема.
Это одна из первых вариационных задач, подлежащих изучению.
Фактически, эта кривая противоположна (отражается по оси x) показанной изгиб. Без всякой формулы можно понять, что по этой кривой путь быстрее чем по прямой. Для циклоиды результирующая составляющая силы тяжести равна побольше, а так разгон и скорость, сразу после старта. Также легко экспериментально проверить, что путь по прямой занимает больше времени.
Эти знания можно использовать во время катания на лыжах: быстрее выбрать спуск, чтобы вы набираете скорость, чем избегаете склонов.

Второе качество состоит в том, что циклоида — это таутохрона (иногда называют: изохрона ) ⁶⁾ . Это означает, что бусинка вдоль кривой требует в то же время, чтобы спуститься, независимо от отправной точки. Чудесно! Это было христиан Гюйгенс , открывший этот факт в 1659 году. В своем трактате «Horologium Oscilatorium» (1673) он конструирует часы с маятником переменной длины.Маятник движется между две щеки, обе в форме циклоиды. Раскачиваясь наружу, маятник укорачивает. Huygens использовал идею о том, что эвольвента циклоиды — это та же циклоида (конечно, справедливо и для эволюции).
Эта конструкция компенсировала неравномерность нормального маятника. Для нормального маятник, то время колебания только в первом приближении не зависит от положение в сторону ⁷⁾ . Гюйгенс был весьма впечатлен, он написал над доказательством: «magna nec ingenijsvestigata priorum», чтобы быть переводится как: «это что-то великое, никогда прежде не исследованное гением».
В своих экспериментах Huygens также использовал эвольвенту круга в его маятниковых часах, чтобы приблизиться к циклоидной траектории.

Однако использование принципа таутохрон при проектировании маятниковых часов тоже оказалось актуальным. много механических проблем, чтобы сделать это обычным явлением.
О таутохронах можно также прочитать в «Моби Дике», книге Германа Мелвилла, в трактате о котле для кипячения китового жира.

Вот некоторые интересные свойства циклоиды:

Cusa был первым, кто изучил кривую в наше время, пытаясь найдите площадь круга. Mersenne (1599) дал первое правильное определение циклоиду, он попытался найти область под кривой, но потерпел неудачу. Он поставил вопрос Робервалю , который решил его в 1634 году.Позже Торричелли независимо нашел площадь кривой.
Декарт нашел, как провести касательную к циклоиде, он бросил вызов Роберваль найти решение Робервалю не удалось, а вот Ферма удалось. Также Viviani нашел касательную.

В августе 1658 года Pascal опубликовал задание, предлагающее два приза, под именем Amos Dettonville . Он задал 9 вопросов о циклоиде, задав площадь и центр тяжести ее сегмента.
Говорят, что для Паскаля изучение кривой было хорошим развлечением от сильной зубной боли.
Уоллис и Лалур , обе попытки не увенчались успехом. Sluze , г. Ricci , Huygens , Wren и Fermat не участвовали в конкурсе, но все написали свое решение на Паскале. 10 октября 1658 г. Паскаль опубликовал свой собственный решения, вместе с расширением результата Wren .
Газета называлась «Histoire de la Roulette, appel autrement Trochoide ou Cycloide».

Desargues предложил зубья шестерен в форме циклоиды (около 1635 г.).

Якоб и Иоганн Бернулли показал (1692 г.), что циклоида является катакостическим круга, где световые лучи исходят от окружности.
Циклоидная дуга с лучами, перпендикулярными оси x, дает две циклоидные дуги.

Итак, циклоида была очень популярна среди математиков 17 века.Поэтому позже кривой было присвоено название кривой ссоры , Елена Геометров и Яблоко раздора ⁹⁾ .

В музее фортепиано в Хопкинтоне ¹⁰⁾ можно найти пианино, задний край которого имеет форму циклоиды. В Создатель Генри Линдеман назвал инструмент «Циклоида». Гранд », конец 1800-х гг.
Но при взгляде сверху видно, что его форма отличается от реальной циклоиды:

Шестерни имеют циклоидную форму, их можно округлить. серией дуг окружности.Также можно использовать числовые таблицы, например, George Одонтограф Гранта , который также является названием инструмента для прекращения производства очертания зубьев шестерен.

Кривая представляет собой пойнт-рулетку.

Теперь отслеживаемая точка не лежит на окружности. Когда точка лежит снаружи круг, кривая называется вытянутая циклоида (или расширенная циклоида ). Когда точка лежит внутри катящегося круга, кривая называется скругленной циклоидой . (или сжатая циклоида ).Последняя кривая следует клапаном велосипеда. Вот откуда название клапана , кривая для циклоиды от.

Первыми исследовали кривую Drer (1525) и Rmer (1674).

с винтом Voith-Schneider (VSP), Впервые испытанный в 1927 году, корабль способен точно маневрировать и уходить в сторону. Пропеллеры вращаются вокруг оси, перпендикулярной движению, так что они следовать по пути циклоиды.Положение лопастей определяет направление судна, и в его основе лежит тот же принцип действия плавника рыбы.
Пропеллер называется циклоидальным или трохоидальным винтом.

банкноты

1) Пусть есть круг с центром (0, R) и точка (p, 0) в качестве отправной точки для броска. Тогда координаты циклоида, как функция угла наклона t

2) На голландском языке: radlijn

3) Брахисто (Греч.) или brachus (лат.) = короткий, chronos (Гр.) = Время

4) На высоте y шарик приобретает скорость √gy, поэтому что минимизация времени пробега означает минимизацию интеграла
.
Решение этого уравнения приводит к дифференциальному уравнению y (1 + y ‘ ² ) = c к циклоиде.

5) В то время профессор математики в Гронингене, Голландия

6) Тауто = равно, хронос = время: кривая, по которой нужно следовать за равное время.

7) Правильное соотношение дает полный эллиптический интеграл первого рода.

8) На английском языке: История рулетки, также называемая трохоидой или циклоидой.

9) Елена и яблоко раздора относятся к Троянской войне.
Голландский для кривой ссоры: kibbelkromme.

10) Хопкинтон, штат Массачусетс, около 1/2 часа. к западу от Бостона, см. веб-сайт Музея фортепиано.

11) Trochus (лат.) = Обруч.
Иногда значения циклоиды и трохоиды меняют местами: трохоид для общего случай, циклоида только для ситуации, когда начальная точка лежит на окружности.

Циклоида — Mathonline

Циклоида — это особый тип параметрической кривой, которая очерчивается точкой на окружности круга, когда он катится по прямой линии. График циклоиды выглядит так:

Сначала определим центр круга. Что касается координаты x, обратите внимание, что дуга, образованная, когда точка P катится вдоль оси x, равна расстоянию между началом координат и центром круга (это расширено в следующем разделе), а также обратите внимание, что y -координата окружности никогда не меняется и остается на длине r.Таким образом, мы получаем, что, поскольку длина дуги равна rΘ, то центр окружности равен C (rΘ, r)

x-Координаты циклоиды

Чтобы определить параметрическое уравнение для циклоиды, давайте воспользуемся углом тета, образованным перпендикуляром, опущенным из центра круга, и положением некоторой точки P, которая очерчивает круг по мере увеличения теты. Мы будем использовать тэту, потому что она изменяется так же, как t со временем. Диаграмма ниже представляет собой визуальное представление того, как мы определим циклоиду

Сначала давайте найдем функцию x (t), чтобы описать, как x-координата циклоиды изменяется при изменении теты.Обратите внимание, что точка P начинается в начале координат и удаляется на расстояние, равное длине отрезка OC. Однако также обратите внимание, что дуга окружности, образованной тета, также равна отрезку OC, потому что он перекатился по оси x. Напомним, что длина дуги окружности:

\ begin {align} s = r \ theta \ end {align}

Нам не нужно знать точное измерение радиуса, а тета варьируется. Так просто:

\ begin {align} OC = r \ theta \ end {align}

Однако длина OC — это не то, что нам нужно.Нам нужно вычесть длину сегмента PC, чтобы получить длину OP = x. В этом случае мы можем использовать тригонометрию:

\ begin {align} \ sin \ theta = \ frac {PC} {r} \\ r \ sin \ theta = PC \ end {align}

Таким образом, координаты x при изменении теты равны:

\ begin {align} OC — PC \\ = r \ theta — r \ sin \ theta \\ = r (\ theta — \ sin \ theta) \ end {align}

Координаты Y циклоиды

Мы будем использовать аналогичные методы для определения координаты y при изменении теты.Сначала мы признаем, что длина опущенного перпендикуляра от центра круга до оси x равна r, поскольку это просто радиус круга. Теперь мы хотим вычесть расстояние от центра до координаты y. Еще раз, мы можем использовать тригонометрию, чтобы получить длину rcosΘ. Таким образом, получаем, что координата y равна:

\ begin {align} y = r — r \ cos \ theta \\ y = r (1 — \ cos \ theta) \ end {align}

Мы узнали, что циклоиду можно определить двумя параметрическими уравнениями, а именно:

\ begin {align} x = r (\ theta — \ sin \ theta) \ quad, \ quad y = r (1 — \ cos \ theta) \ end {align}

Поскольку точка, очерчивающая циклоиду, P, начинается на оси x и вращается от оси x, имеет смысл, что циклоиде требуется расстояние 2πr, чтобы снова пересечь ось x.Таким образом, одна дуга циклоиды возникает после того, как происходит расстояние 2πr бросков цикла.

Давайте теперь проанализируем, являются ли эти арки полукругами. Мы знаем, что максимальная высота круга будет вдвое больше радиуса, или 2r, что также будет максимальной высотой арки. Мы только что определили расстояние от конечной точки одной дуги до другой конечной точки как 2πr. Ясно, что 2r ≠ 2πr / 2 и 2r ≠ πr, поэтому эти дуги не являются полукругами.

Циклоида — стереология.info

Взаимодействие зонда с оцениваемой тканевой характеристикой должно быть изотропным; нельзя одобрять ориентацию в трех измерениях. Это особенно важно учитывать при оценке длины цепочек или поверхности областей, а также при оценке поверхности или объема частиц. Если струны, поверхность или частицы сами по себе изотропны в трех измерениях, то ориентация не будет предпочтительной.Были сообщения, в которых пытались показать, что, например, кортикальная лента (Oster, et al., 1993) и различные типы нейронов в головном мозге (Schmitz, et al., 1999) изотропны, а иногда предполагается изотропность. («В случае паренхимы легких кажется приемлемым предположение об изотропии ткани», Mühlfeld and Ochs, 2013, Количественные параметры острого повреждения легких , последний абзац, последнее предложение и «Воздушно-гематологический барьер можно предположить произвольно ориентированный внутри куба легочной ткани, который используется для гистологического препарата », Weibel and Knight, 1964, стр.370), но изотропия объекта редко встречается во многих биологических системах, и ее трудно доказать. Следовательно, чтобы гарантировать изотропность взаимодействия, необходимо использовать некоторую комбинацию зонда и препарата ткани, чтобы исключить возможность того, что какая-либо конкретная ориентация взаимодействия предпочтительна. Технически наиболее эффективным решением является выбор зонда, который является симметричным в трех измерениях и, следовательно, изотропным в трех измерениях. Это недоступно при оценке поверхности или объема частиц, но возможно для длины цепочек и поверхности областей.Для определения длины используйте зонд космических шаров, это сфера, и не имеет значения, как сфера ориентирована, когда она встречает струну; никакая конкретная ориентация не приведет к большему или меньшему количеству пересечений. Для использования на поверхности изотропный зонд факира представляет собой тройку из трех линейных сегментов, все взаимно ортогональных друг другу; когда он встречается с поверхностью, ее ориентация не имеет значения, поскольку триплет симметричен в трех измерениях. И Spaceballs, и Isotropic Fakir не требуют использования изотропных или вертикальных секций, могут использоваться преимущественно ориентированные секции.Однако оба зонда требуют использования толстых секций, чтобы было место для сферы или тройки.

Если вы не можете получить толстые срезы для оценки длины струны или области-поверхности, или если вы оцениваете поверхность или объем частиц, невозможно сделать зонд изотропным. Это означает, что для обеспечения изотропии необходимо использовать препарат ткани. Можно использовать изотропные срезы тканей. Они будут случайными в трех измерениях, обеспечивая изотропию взаимодействия между зондом и тканью, но они имеют недостаток, обычно вызывающий анатомическую дезориентацию; вы не сможете «читать» свои ткани, как при использовании предпочтительного сечения.Компромисс — использование вертикальных секций. Выбирается вертикальное направление, и ткань, например тканевый блок, произвольно вращается вокруг вертикальной оси. Но ткань на этих вертикальных срезах не исследуется прямыми отрезками или плоскостями. Используется специально разработанный линейный сегмент или плоскость, называемая циклоидой .

Почему при отборе проб на вертикальных участках необходимо использовать циклоиду, чтобы гарантировать изотропность? Чтобы подумать об этом, давайте представим тест на изотропию.Если лучи исходят из точки в двух измерениях, мы можем гарантировать, что никакое конкретное направление в двумерном пространстве не является предпочтительным, выбирая случайный угол от одного до 360 градусов снова и снова. Другими словами, если точка находится в середине круга, и бесконечное количество лучей исходит из точки в соответствии со случайным выбором угла каждый раз, никакая часть круга не будет с большей или меньшей вероятностью пересекаться лучом. Система изотропна в двух измерениях. Проблема возникает при рассмотрении трех измерений.Если точка находится в центре сферы, и зондирующие лучи исходят из этой точки, мы можем сказать, что система изотропна, если никакая часть поверхности сферы не пересекает луч с большей или меньшей вероятностью, чем любая другая часть. При вертикальном сечении ткань случайным образом вращалась в 2-мерном порядке вокруг вертикальной оси перед срезом. Но как только этот срез попадает в микроскоп, второй угол, угол, который определяет, как сегменты зондирующей линии будут расположены на срезе, не может быть выбран случайным образом в диапазоне от одного до 360 градусов.Вместо этого угол должен быть взвешен по синусоиде, и для этого используется циклоидный отрезок линии.

Рассмотрим снова систему сфер, которая может тестировать на изотропию. Любое направление луча, исходящего из точки в центре, можно обозначить двумя углами (Baddeley, et al., 1985, рис. 2). Мы можем выбрать случайный угол в двух измерениях относительно экватора, но если мы выберем второй угол случайным образом, на самом деле будет больше пересечений лучей на полюсах сферы, чем на экваторе сферы (West, M.J., 2012, Глава 4, Изотропия, изекторы и вертикальные сечения, рис. 4.3 D). Это связано с тем, что «область, связанная с 1 ^o долготы и широты, на полюсах земного шара значительно меньше, чем на экваторе». (Уэст, М.Дж., 2012, глава 4, Изотропия, изекторы и вертикальные сечения, раздел 4.6.2, второй абзац, второе предложение). Вот иллюстрация, показывающая ситуацию, когда второй угол выбирается путем простого создания равных углов:

На полюсе (вверху) кривизна более выражена, чем на экваторе, поэтому такой же размерный угол, исходящий из центра, на самом деле вырезает меньше площади на полюсе, чем на экваторе.Это та же проблема, что и у проекционной карты мира Меркатора; когда земной шар сплющен, площадь полюсов преувеличена, в результате чего Гренландия, например, выглядит больше, чем она есть на самом деле по сравнению с другими территориями суши. Если провести линии от пересечения лучей с поверхностью до вертикальной оси:

видно, что расстояние по вертикальной оси неравномерное. Вместо равных углов у источника лучей вертикальную ось сначала следует разделить на равноотстоящие участки:

, а затем от перекрестков обратно к центру проводят линии:

Результирующие углы основаны на синусе угла между вертикальной осью и конкретным лучом.Обратите внимание, что точки пересечения разбросаны по полюсам по сравнению с экватором, чтобы компенсировать тот факт, что заданное приращение угла будет покрывать меньшую площадь на полюсах, чем на экваторе. Синус угла между 0 и 90 градусами изменяется от 0 до 1, но не линейно, он изменяется взвешенно по синусоиде. Вместо того, чтобы неявно генерировать взвешенные по синусу углы, проще исправить ситуацию, используя датчик, взвешенный по синусоиде, циклоиду. «Циклоиду можно представить как цепочку бесконечно малых отрезков прямой с взвешенными синусоидальными ориентациями относительно заданной оси» (West, M.J., 2012, глава 4, Изотропия, изекторы и вертикальные сечения, раздел 4.6.3, второй абзац, третье предложение). Циклоиду можно создать, начертив фиксированную точку на круге по мере его движения (West, M.J., 2012, Глава 4, Изотропия, Изекторы и Вертикальные сечения, рис. 4.7).

От D.328 10:34, 23 ноября 2006 г. (UTC) (нарисовано D.328) [GFDL (http://www.gnu.org/copyleft/fdl.html), CC-BY-SA-3.0 (http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/) или CC BY-SA 2.1 jp (http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.1/jp/deed.en)], через Wikimedia Commons

На приведенной выше анимации зонд с циклоидным линейным сегментом, приложенный к ткани, представлен между 0 и π. «Когда малая ось, рис. 4.7C, циклоиды выровнена с вертикальной осью на вертикальном сечении, циклоида представляет собой линейный датчик, который будет соответствовать критериям для линейного датчика, который имеет всю ориентацию в трехмерном пространстве при размещении в вертикальном положении. разрезов и приведет к желаемому изотропному взаимодействию с поверхностными элементами и твердыми частицами (West, M.J., 2012, глава 4, Изотропия, изекторы и вертикальные сечения, раздел 4.6.3, второй абзац, последнее предложение).

Какие зонды используют вертикальные сечения и циклоиды? Если вы оцениваете поверхность и должны использовать шлифы и не хотите использовать изотропные сечения, циклоиды для зонда Sv (Baddeley et al., 1985) можно использовать на вертикальных срезах. В этом случае малая ось циклоиды параллельна вертикальной оси. Если вы оцениваете поверхность или объем частиц, все эти зонды требуют изотропных или вертикальных сечений.Возьмем, к примеру, самый популярный зонд для оценки объема клеток — нуклеатор. Если вы не хотите использовать изотропные сечения, можно использовать вертикальные сечения, и в этом случае малая ось циклоиды также совмещена с вертикальной осью. Синусоидальный характер циклоидного линейного сегмента обеспечивает равные шансы зондирования в любом трехмерном направлении. Если вы оцениваете длину струн, для измерения вертикальных сечений можно использовать плоскости, взвешенные по синусоиде (Cycloids for Lv; Gokhale, 1989).В этом случае малая ось ареальной циклоиды должна быть перпендикулярна вертикальной оси. Однако, поскольку для зонда используется плоскость, сечение должно быть толстым, и в этом случае следует использовать изотропный зонд Spaceballs (Mouton, et al., 2002).

Баддели А.Дж., Гундерсен Х.Дж. и Л.М. Круз-Орив (1985) Оценка площади поверхности по вертикальным сечениям, J Microsc; 142: 259.

Гохале, А. (1989) Несмещенная оценка длины кривой в трехмерном пространстве с использованием вертикальных срезов, J.of Microscopy, 159, pp. 133-141.

Mouton PR, Gokhale AM, Ward NL, West MJ. (2002) Стереологическая оценка длины с помощью сферических зондов. J Microsc., 206, стр. 54-64.

Mühlfeld, C. и M. Ochs (2013) Количественная микроскопия легких — проблемно-ориентированный подход, часть 2: стереологические параметры и схемы исследования при различных заболеваниях дыхательных путей. Являюсь. J. Physiol. Lunc Cell Mol. Физиология, 305 (3): L205-21.

Остер, С., Кристофферсен, П., Гундерсен, Х.Дж., Нильсен, Дж. О., Паккенберг, Б. и К. Педерсен (1993) Церебральная атрофия при СПИДе: стереологическое исследование, Acta Neuropathol., 85, стр. 617-622.

Schmitz, C., Schuster, D., Niessen, P. and H. Korr (1999) Отсутствие различий между оценочными средними объемами ядер различных типов нейронов в мозге мыши, полученными на изотропных однородных случайных срезах, либо на обычных фронтальных или сагиттальных срезах. Разделы, J. of Neuroscience Methods, 88, стр. 71 — 82.

Weibel E.R. and B.W. Knight (1964) Морфометрическое исследование толщины легочного воздушно-кровяного барьера, J.of Cell Biology, 21, стр. 367-384.

West, M.J. (2012) Базовая стереология для биологов и нейробиологов , Cold Spring Harbor Laboratory Press, Cold Spring Harbor, NY

Вездесущая циклоида | ThatsMaths

Головоломка: Как бы быстро ни двигался поезд, часть его движется назад. Какая часть?
Ответ смотрите в конце этого поста.

Замедленное изображение велосипеда с фарами на колесных дисках. [Фотография с сайта Александра Вейджмейкера, с благодарностью]

Представьте себе небольшой фонарик, прикрепленный к ободу велосипедного колеса.По мере движения велосипеда свет поднимается и опускается серией арок. Ночная фотография с длинной выдержкой покажет циклоиду , кривая которой очерчена точкой на окружности, когда она катится по прямой линии. Свет на ступице колеса очерчивает прямую линию. Если свет находится в средней точке спицы, кривая, по которой он следует, представляет собой короткую циклоиду. Точка за пределами обода очерчивает вытянутую циклоиду с обратной петлей. [TM076; или выполните поиск по запросу «thatsmaths» на сайте irishtimes.com]

Три трохоиды: обычная циклоида (черная), короткая циклоида (синяя пунктирная линия) и вытянутая циклоида (красная пунктирная линия).

Циклоиды изучались многими ведущими математиками за последние пятьсот лет. Название циклоида происходит от Галилея, который подробно изучил кривую. История Галилея, сбрасывающего предметы с Пизанской башни, хорошо известна. Хотя он не мог этого знать, падающий объект очерчивает дугу перевернутой циклоиды. Это связано с крошечным отклонением, вызванным вращением Земли. Более того, объект, брошенный вверх, следует по петле вытянутой циклоиды, приземляясь немного западнее своей точки запуска.

Зубная боль Паскаля

Блез Паскаль, отказавшийся от математики в пользу теологии, избавился от зубной боли, размышляя о свойствах циклоид. Приняв это за знак свыше, он возобновил свои математические исследования. Паскаль предложил некоторые задачи по циклоиде, и одним из респондентов был Кристофер Рен, более известный как архитектор собора Святого Павла в Лондоне. Рен доказал, что длина циклоидной дуги в четыре раза больше диаметра окружности, образующей ее.Сегодня это простая задача в интегральном исчислении, но в 1658 году это было огромным достижением.

Качка маятника очерчивает дугу окружности при качании. Период или время полного возвратно-поступательного колебания зависит от длины дуги или амплитуды качания, немного увеличиваясь для более широкой дуги. Это усложняет измерение времени с помощью маятниковых часов. Если дугу окружности заменить циклоидальной дугой, период останется постоянным независимо от амплитуды. По этой причине циклоида называется изохронной .Голландский ученый Христиан Гюйгенс открыл это и построил хронометр, используя изобретательный метод достижения циклоидального колебания.

Львиный коготь

В 1696 году Иоганн Бернулли поставил задачу, которую он назвал брахистохроной — или проблемой кратчайшего времени: найти путь, по которому гравитация переносит массу из одной точки в другую, не находящуюся непосредственно под ней. Среди пяти ответивших математиков были Ньютон, Лейбниц и брат Иоганна Якоб.Искомый путь — циклоида.

История гласит, что Ньютон столкнулся с проблемой однажды вечером, вернувшись с Королевского монетного двора, где он был Мастером. Он допоздна работал над этим и к 4 часам утра получил решение, которое позже отправил по почте. Хотя его решение было анонимным, Бернулли сразу же ощутил его авторитет и великолепие, выразив свою реакцию в классической фразе «ex ungue leonem» — льва узнают по его когтю.

Циклоидальная арка в Художественном музее Кимбелла, Форт-Уэрт, Техас.

Циклоидные арки использовались в некоторых современных зданиях, ярким примером которых является Художественный музей Кимбелла в Форт-Уэрте, штат Техас, спроектированный известным архитектором Луи И. Каном. Как и многие классические здания, музей основан на последовательной математической модели. Основной план состоит из циклоидных сводов, расположенных параллельно друг другу. Эти своды имеют плавно поднимающиеся стороны, что создает впечатление монументальности. Эта геометрическая форма способна выдерживать собственный вес и выдерживать сильное давление.

В атмосфере вращение Земли вызывает циклоидальное движение: айсберги и плавучие буи, как было замечено, прослеживают многочисленные петли вытянутой циклоиды. Наконец, в современных зубчатых передачах используются эпициклоиды и гипоциклоиды, поскольку они обеспечивают хороший контакт между зубьями зубчатого колеса, находящимися в зацеплении, обеспечивая эффективную передачу энергии.

Уравнение циклоиды

Движение точки на единичной окружности, катящейся по горизонтальной линии ( y = 0), состоит из двух частей: поступательного движения центра и кругового движения точки относительно центра.Предполагая, что точка находится в начале координат в момент времени t = 0 и движется с единичной скоростью, координаты центра равны x = t, y = 1. Для чистого качения с единичной угловой скоростью координаты точки на обода относительно центра составляют x ‘ = -sin t , y’ = -cos t . Таким образом, координаты относительно начала координат равны

x = t — sin t y = 1 — cos t

Мы можем решить второе уравнение относительно t , получив t = arccos (1 — y ).Подставляя это в первое уравнение, получаем

x = arccos (1 — y ) — sin [arccos (1 — y)] = arccos (1 — y) — \ sqrt y (2-y)

Уравнения для свернутой и вытянутой циклоиды легко написать, регулируя амплитуду круговой составляющей. Три случая включены в уравнения

x = t — a sin t y = 1 — a cos t

, где a <1 для свернутой циклоиды и a > 1 для вытянутой циклоиды.

Площадь под аркой циклоиды равна 3π, а длина единственной дуги — 8.

Ответ на загадку

Точка на гребне колеса железнодорожного локомотива находится за пределами поверхности качения колеса и, находясь ниже нее, движется назад по контуру вытянутой циклоиды. Чем быстрее идет поезд, тем быстрее идет обратный ход!

Циклоида | Бакуган Вики | Фэндом

Информация Галерея

Циклоида

Чтобы узнать о бакугане из серии Battle Planet, см. Cycloid (Battle Planet).

Циклоида (японская версия: Cyclops (サ イ ク ロ プ ス, Saikuropusu ^? )) — подобный циклопу бакуган, оснащенный большим каменным молотом. В аниме он является Бакуганом-хранителем Билли Гилберта.

Информация

Bakugan.com

Циклоида — это титаноподобный зверь. Он невероятно силен, вынослив и готов к борьбе. У него единственный устрашающий глаз с коротким смертоносным рогом на лбу и двумя вампирскими зубами.Он находит людей одновременно сбивающими с толку и забавными. ^[1]

Официальный справочник бакугана

Это нормальный бакуган на один глаз! Колоссальная циклоида держит в правой руке огромный молот. Когда Циклоида взмахивает молотом, приготовьтесь. Этот мощный бакуган вмещает немало денег. ^[2]

Максимальный справочник по Бакугану

Как и у легендарного монстра Циклопа, Циклоид имеет одинокий глаз посередине лба. Он также гигантское животное с суперсилой.Циклоида атакует с рогом на голове и своей большой дубиной. Этот большой зверь всегда готов к битве! ^[3]

Аниме

Бакуганские боевые бойцы

Циклоида была обнаружена Билли недалеко от центра долины Бакуган. Их дебют ознаменовался победой над другим бойцом Subterra Brawler, Джули Макимото. ^[4] Позже Маскарад поручает ему и Билли победить Дэна Кусо. ^[5] После того, как они и остальные ведущие бойцы устроили засаду на боевых бойцов, они проиграли Шуну и Джули. ^[6] Билли и Циклоид проводят матч-реванш с Джули в Германии, хотя, поскольку они собираются отправить Горема в Измерение Рока, Билли передумал и удаляет карту Рока, а затем покидает команду Маскарада. ^[7] После поражения от Маскарада Циклоида отправляется в Измерение Рока. ^[8] В конце концов все главные скандалисты воссоединяются со своими бакуганами. Позже Циклоид объединяется с Горемом для борьбы с Рабидером ^[9] , а затем с Триклоидом ^[10] , успешно побеждая их обоих.Он также помогает бойцам сражаться против Центорриора и Друмана. ^{[11] [12]}

Карты способностей

• Right Giganti ( Японская версия: Right Gigant ): добавляет 100 G к циклоиде.
• Left Giganti ( Smackdown, Sinister Smash, японская версия: Left Gigant ): обнуляет карту ворот противника.
• Stare Down ( Stared Evil Eye, японская версия: Stared Eyes ): вычитает 50 G из каждого бакугана противника в периметре Stare Down.Это также позволяет Cycloid видеть скрытый бакуган (например, бакуган спрятан под землей).
• Grand Slide : перемещает карту ворот противника в любое место на поле и позволяет циклоиде атаковать, если на карте есть бакуган. (Стандартная способность субтерры)
• Copycat : Копирует способность, которую использовал или использует противник. (Стандартная способность субтерры)

Бакуган: Новая Вестроя

Уровень мощности Cycloid увеличивается до 500 G после возвращения в Новую Вестрою.Он сотрудничает с Хаммером Горемом против Рыцаря Эйса Персиваля и Флэша Сокол Флай в недавно завершенной виртуальной камере Bakugan Interspace. Эйсу удается победить его и Хаммера Горема, несмотря на все трудности. ^[13]

Карты способностей

• Стреловой молот : Обнуляет способности противника.
• Gigantic Hammer : переводит 200G от противника к Cycloid.
• Skeet Punch : добавляет 400 G к циклоиде.
• Rocky Punch : вычитает 200 G у каждого противника.
• Stealth Swing : Отражает способности противника.

Карта способностей (видеоигра Bakugan)

• Правый гиганти: Добавляет 200 G к циклоиде.

Физическая игра

Наличие

Северная Америка

Версия Darkus поставляется с 390, 510, 540 или 570 G, версия Haos — с 250 G, версия Ventus — с 350, 450, 550 или 580 G, а версия Clear — с 510 G.

Япония

В Японии версия Subterra в BCV-03 поставляется с 400G или 440G.

Видеоигры

Бакуганские боевые бойцы

Циклоида доступна в видеоигре Bakugan Battle Brawlers . Subterra Cycloid открывается после победы в битве за теги с Джули в качестве вашего партнера.

Бакуганские боевые бойцы: боевой тренер

Cycloid доступен в Bakugan Battle Brawlers: Battle Trainer . Subterra Cycloid открывается после прохождения 10-й арены.

Бакуган: Защитники ядра

Циклоида не появляется на самом деле, но является возможной фигурой в Коллекционном издании игры.

Общая информация

• Он является одним из двух бакуганов, не принадлежащих к категории Aquos, в аниме, у которых есть анимированный рот, второй — Аранаут.
• В видеоигре его карта способностей написана с ошибкой Right Giganto вместо Right Giganti .
• В форме мяча его ступни меняются местами и смотрят вперед сзади, а не слева и справа.

Список литературы