Абстрактно логические средства: «Мышление и его виды» | СГЭУ

«Мышление и его виды» | СГЭУ

Вопрос:  Что такое мышление?

Процесс познавательной деятельности индивида, характеризующийся обобщенным и опосредованным отражением действительности. Предметы и явления действительности обладают такими свойствами и отношениями, которые можно познать непосредственно, при помощи ощущений и восприятий (цвета, звуки, формы, размещение и перемещение тел в видимом пространстве).

Первая особенность мышления — его опосредованный характер. То, что человек не может познать прямо, непосредственно, он познаёт косвенно, опосредованно: одни свойства через другие, неизвестное — через известное. Мышление всегда опирается на данные чувственного опыта — ощущения, восприятия, представления — и на ранее приобретённые теоретические знания. Косвенное познание и есть познание опосредованное.

Вторая особенность мышления — его обобщённость. Обобщение как познание общего и существенного в объектах действительности возможно потому, что все свойства этих объектов связаны друг с другом. Общее существует и проявляется лишь в отдельном, в конкретном.

 

Вопрос: Какие виды мышления есть?

Классификация по результатам мышления

Классификация по уровню психических процессов

Другие виды:

 

Вопрос: формы мышления?

Понятие, суждение, умозаключение (вывод)

Умозаключение является наиболее сложной формой и продуктом мышления. Оно основывается на данных ряда суждений и осуществляется путем рассуждения. Различают три основных метода (способа) получения умозаключений при рассуждении: дедукция, индукция и аналогия.

Дедуктивное умозаключение (от лат. deductio — выведение) — ход рассуждений при получении заключения идет от более общего знания к частному (от общего к единичному), здесь переход от общего знания к частному является логически необходимым.

Индуктивное умозаключение (от лат. inductio — наведение) — рассуждение идет от частного знания к общим положениям. Здесь имеет место эмпирическое обобщение, когда на основании повторяемости признака заключают о его принадлежности всем явлениям этого класса.

Умозаключение по аналогии делает возможным при рассуждении логический переход от известного знания об отдельном предмете к новому знанию о другом отдельном предмете на основании уподобления одного явления другому (от единичного случая к подобным единичным случаям, или от частного к частному минуя общее).

Суждение, как наименьшую единицу логического мышления, выделил Платон. Аристотель в свою очередь показал, что только в наиболее общих суждениях, истинных для всех объектов данного класса, могут выражаться законы природы и общества. Он доказал, что если обе посылки частные, то из них нельзя сделать строгого логического вывода. Строгий логический вывод может быть получен только методом дедукции. Например, два суждения: «Драгоценные металлы не ржавеют» (большая посылка) и «Золото — драгоценный металл» (малая посылка), — взрослый человек с развитым мышлением воспринимает не как два изолированных предложения, а как готовое логическое соотношение (силлогизм), из которого можно сделать только один вывод — «Следовательно, золото не ржавеет». Этот вывод не требует непременного личного опыта, т.к. он получен при помощи объективного логического средства — силлогизма. Все другие типы рассуждений, т.е. индукция и аналогия, с точки зрения истинности вывода куда менее ясны. Только силлогизм является истинной основой логического мышления. Благодаря силлогизмам и другим логическим формам мышление становится доказательным, убедительным и непротиворечивым.

Наиболее известные методы мышления:

Дискурсивные

Продуктивные (творческие)

Логический

Дивергентный

Диалектический

Латеральный

Аналитический

Радиантный

Научный

Эвристические

Системный

ТРИЗ

  

Вопрос: какие операции выполняет мышление?                               

Мыслительные операции разнообразны. Это — анализ и синтез, сравнение, абстрагирование, конкретизация, обобщение, классификация

. Какие из логических операций применит человек, это будет зависеть от задачи и от характера информации, которую он подвергает мыслительной переработке.

Анализ и синтез

Анализ — это мысленное разложение целого на части или мысленное выделение из целого его сторон, действий, отношений.

Синтез — обратный анализу процесс мысли, это — объединение частей, свойств, действий, отношений в одно целое.

Анализ и синтез — две взаимосвязанные логические операции. Синтез, как и анализ, может быть как практическим, так и умственным.

Анализ и синтез сформировались в практической деятельности человека. В трудовой деятельности люди постоянно взаимодействуют с предметами и явлениями. Практическое освоение их и привело к формированию мыслительных операций анализа и синтеза.

 
Сравнение

Сравнение — это установление сходства и различия предметов и явлений.

Сравнение основано на анализе. Прежде чем сравнивать объекты, необходимо выделить один или несколько признаков их, по которым будет произведено сравнение.

Сравнение может быть односторонним, или неполным, и многосторонним, или более полным. Сравнение, как анализ и синтез, может быть разных уровней — поверхностное и более глубокое. В этом случае мысль человека идёт от внешних признаков сходства и различия к внутренним, от видимого к скрытому, от явления к сущности.

 
Абстрагирование

Абстрагирование — это процесс мысленного отвлечения от некоторых признаков, сторон конкретного с целью лучшего познания его.

Человек мысленно выделяет какой-нибудь признак предмета и рассматривает его изолированно от всех других признаков, временно отвлекаясь от них. Изолированное изучение отдельных признаков объекта при одновременном отвлечении от всех остальных помогает человеку глубже понять сущность вещей и явлений. Благодаря абстракции человек смог оторваться от единичного, конкретного и подняться на самую высокую ступень познания — научного теоретического мышления.

 
Конкретизация

Конкретизация — процесс, обратный абстрагированию и неразрывно связанный с ним.

Конкретизация есть возвращение мысли от общего и абстрактного к конкретному с целью раскрытия содержания.

Мыслительная деятельность всегда направлена на получение какого-либо результата. Человек анализирует предметы, сравнивает их, абстрагирует отдельные свойства с тем, чтобы выявить общее в них, чтобы раскрыть закономерности, управляющие их развитием, чтобы овладеть ими.

Обобщение, таким образом, есть выделение в предметах и явлениях общего, которое выражается в виде понятия, закона, правила, формулы и т.п.

 

Вопрос: индивидуальные особенности мышления

Мышление имеет ярко выраженный индивидуальный характер. Особенности индивидуального мышления проявляются в разных соотношениях видов и форм, операций и процедур мыслительной деятельности. Важнейшими качествами мышления являются следующие.

Самостоятельность мышления — умение выдвигать новые задачи и находить пути их решения, не прибегая к помощи других людей.

Инициативность — постоянное стремление самому искать и находить пути и средства разрешения задачи.

Глубина — способность проникать в сущность вещей и явлений, понимать причины и глубинные закономерности.

Широта — способность видеть проблемы многосторонне; во взаимосвязи с другими явлениями.

Быстрота — скорость решения задач, легкость в воспроизведении идей.

Оригинальность — способность производить новые идеи, отличные от общепринятых.

Пытливость — потребность всегда находить наилучшее решение поставленных задач и проблем.

Критичность — объективная оценка предметов и явлений, стремление подвергать сомнению гипотезы и решения.

Торопливость — непродуманность аспектов всестороннего исследования проблемы, выхватывание из нее лишь отдельных сторон, высказывание неточных ответов и суждений.

Мышление носит потребностно-мотивированный и целенаправленный характер. Все операции мыслительного процесса вызваны потребностями, мотивами, интересами личности, ее целями и задачами.

 Нельзя забывать, что мыслит не мозг сам по себе, а человек, личность в целом. Большое значение имеют активное стремление человека к развитию своего интеллекта и готовность активно использовать его в полезной деятельности.

 

Абстрактно-логическая ступень анализа и ее формы (термины, суждения, умозаключения, дефиниции)

Абстрактно-логическая ступень анализа и ее формы (термины, суждения, умозаключения, дефиниции)

 

Ранее было установлено, что в ощущениях, восприятиях, представлениях и чувственных определениях, то есть формах чувственного познания, действительность отражается не на уровне сущности, а лишь на уровне явления. Практика показывает, что использование такой информации в процессе жизнедеятельности людей недостаточно эффективно. И она же требует проникновения в сущность явлений действительности, что и делает человек в ходе абстрактного мышления, протекающего с использованием определенных, специфических форм.

Поскольку ощущения человека являются базовым средством его контакта с действительностью, в том числе и в ходе общественной практики, то естественно, что проникнуть в сущность явлений действительности возможно, лишь углубляя, развивая, те знания, которые запечатлены в чувственных формах познания. Казалось бы, задача предельно проста: берутся формы чувственного познания и используются в процессе абстрактного мышления. Но такой возможности, как показывает анализ, нет. Прежде всего, потому что речь идет о двух качественно разных явлениях: чувствах и абстрактном мышлении, то есть рациональной деятельности человека. А переход же, как известно, от одного качества к другому – это скачек, изменение качественное.

Обычный вопрос перехода от чувственной ступени познания к рациональной решается в научной литературе довольно просто и во многом традиционно. Как правило, декларируется, что от ощущений, восприятий, представлений, чувственных определений (форм чувственного познания) субъект переходит к рациональному познанию, протекающему на базе понятий, суждений и умозаключений. Однако, декларации здесь явно недостаточно, поскольку не все так очевидно, как звучит эта посылка. Иными словами, переход от чувственной ступени познания к рациональной должен быть исследован глубоко и предметно, как этого требует изучение всякого диалектично протекающего, противоречивого процесса.

Для того, чтобы перевести чувственную информацию в рациональную и начать оперировать ею, необходимо последнюю выразить в рациональных формах.

Но в каких? Очевидно, что сразу же от форм чувственного уровня отражения, в которых действительность отражена на уровне явлений, перейти к абстрактно-логическому мышлению с использованием соответственно рациональных форм, в которых содержится информация о сущности анализируемых явлений, невозможно. Должны существовать такие формы, которые принадлежали бы мышлению, но отражали действительность не на уровне сущности, а на уровне явления, обеспечивая тем самым перевод чувственной информации в рациональную.

Изучая научную литературу, нетрудно убедиться в том, что такие формы существуют. Это термины, суждения, умозаключения и абстрактно-логические определения или дефиниции. Их содержание и функциональное предназначение заключается в следующем: а) они выполняют функцию знакового обозначения чувственной информации; б) как следствие – переводят эту информацию из чувственной в абстрактно-логическую; в) благодаря им сознание человека получает возможность абстрагироваться от непосредственного контакта с анализируемыми явлениями, “отлетать” от них; г) наконец, чувственная информация, обозначенная определенными знаками (язык, искусственные языки, математические знаки и т.д.) может целенаправленно передаваться от человека к человеку. Рождается мир общения между людьми по поводу конкретных явлений, которые не обязательно воспринимались, или воспринимаются людьми в данной конкретной ситуации.

Благодаря формам абстрактно-логического мышления происходит социализация чувственной информации, она становится достоянием общественного сознания. Может переводиться от человека к человеку, подчиняясь определенным законам, прежде всего, законам формальной логики.

Если проследить процесс развития сознания ребенка, то нетрудно обнаружить достаточно ярко выраженный скачек в его развитии, связанный с переходом от чувственной к рациональной форме восприятия мира. Родившись и развиваясь, ребенок первоначально осваивает мир на чувственном уровне. В ходе чувственного процесса отражения он осваивает и совокупность звуков, которые слышит вокруг себя и нередко неосознанно их воспроизводит, в том числе и, прежде всего, те, которые наиболее часто произносят родители, близкие. Значительно позже наступает этап соединения чувственной информации о том или ином явлении действительности со звуком, ее обозначающим. Именно в этот момент осуществляется терминологическое обозначение ребенком определенных ощущений, восприятий, представлений, чувственных определений, начинает функционировать, собственно, его абстрактно-логическое мышление, постепенно набирая силу.

Немало убедительных данных, свидетельствующих о существовании терминов как форм сознания, обеспечивающих переход от чувственной ступени познания к рациональной, дают результаты экспериментов с высшими животными. Так, в частности, опыты современных ученых этологов и зоопсихологов свидетельствуют о том, что антропоиды способны усваивать довольно большое количество знаков и терминов, обозначающих различные явления. (См. А.В. Ерахтин, А.Н. Портнов Философские проблемы этологии и зоопсихологии. М., 1984, с. 47-48).. Более того, они способны комбинировать их, переносить знаки в новый контекст (См. там же). Результаты опытов говорят также о том, что шимпанзе способны усваивать знаки, обозначающие предметы, классы предметов, операции с предметами и их результаты, целые ситуации и даже «отношения между партнерами по коммуникации». (См.: там же, с. 57).

Наивно полагать, что знаки языка глухонемых, которым обучались шимпанзе в ходе их употребления, выражают сущностные признаки явлений. Несомненно то, что они обозначают чувственную информацию лишь о внешних признаках явлений, носителем которой является их психика. Наличие у животных способности усваивать знаки, термины языка глухонемых, говорит о том, что эти формы являются необходимыми средствами перевода данных чувств в первичную интеллектуальную информацию. Заметим, что поскольку этот процесс, протекающий с использованием терминов, при определенных условиях проявляет себя уже у высших животных, то тем более он свойственен человеку. Следовательно, термины – необходимая форма сознания каждого человека, поскольку он обязательно проходит стадию развития, характеризующуюся переводом данных чувств в рациональную информацию. Как известно, современной наукой доказано наличие зачатков интеллекта у высших животных (см. Я. Дембовский, Психология обезьян.1963, с. 131).

Нетрудно предположить, что формы абстрактно-логического мышления различаются по своему содержанию, поскольку обозначают, переводят из чувственной в рациональную информацию об отдельных сторонах познаваемых явлений, о связях этих сторон между собой, о воздействии явлений среды на данное анализируемое, наконец, о воздействии самой среды на познаваемое явление.

На абстрактно-логическом уровне, как было отмечено, «работают» четыре основные формы: термины, суждения, умозаключения, формально- логические определения или дефиниции. У каждой из них есть свой онтологический прообраз.

Термины принято рассматривать как исходные, базовые формы абстрактно-логического мышления. Они служат обозначению чувственной информации об отдельных сторонах явлений действительности, соединению чувственного и рационального уровней сознания личности. Именно после того, как чувственные данные получают терминологическое обозначение, становится возможным действительный процесс абстрактно-логического мышления.

Исходя из вышесказанного, правомерно выделить наиболее общие признаки терминов, как форм сознания людей.

Во-первых, это первая, исходная, рациональная форма, которая обозначает отдельные стороны явлений действительности. По аналогии можно заключить, что как чувственно отразить, так и рационально обозначить познаваемое явление в целом субъекту крайне трудно в силу многообразия диалектических связей, в которых оно находится. Поэтому, первоначально он вынужден “довольствоваться” обозначением отдельных сторон, свойств анализируемых явлений.

Во-вторых, с помощью терминов осуществляется “перевод” (через обозначение) чувственной информации об отдельных сторонах познаваемых явлений в рациональную.

В-третьих, термины не отражают непосредственно действительность, а воспроизводят ее опосредованно, так как служат средством обозначения (именно обозначения) чувственной (как в данном случае) информации. Поскольку термины только обозначают информацию, то они, как правило, воспроизводят действительность так же, как и чувства, не на уровне сущности, а на уровне явления.

Практический статус терминов в системе мышления современных людей становится особенно понятным в результате знакомства с процессом использования искусственных языков в современной науке (практике). Ведь каждый искусственный язык в своей основе – это система тех или иных терминов, предназначенная для решения задач определенного типа. Словом, термины как формы сознания реально существуют и используются каждым человеком. Это требует целенаправленной работы по формированию терминологического аппарата сознания, как каждой личности, так и общества.

Каждый термин имеет конкретное содержание, обозначая отдельные стороны, свойства явлений действительности. Вместе с тем, обозначения, терминологического выражения чувственной информации об отдельных сторонах, свойствах явлений действительности для эффективного функционирования мышления явно недостаточно. Необходимо терминологически выразить чувственную информацию обо всех сторонах познаваемых явлений, связях между ними, то есть обозначить явление в целом. Но для этой цели, если строго следовать принципу объективности, термины не подходят, поскольку речь идет об обозначении другого качества, возникающего в результате связей, интеграции сторон, элементов явлений в целое. Для целостного выражения в рациональной форме чувственной информации о явлениях в науке используется суждение.

Суждение – это форма мышления, утверждающая или отрицающая что-либо о предмете, явлении (или предметах, явлениях). Так обычно в научной литературе квалифицируют суждение и этому трудно возразить. Можно только добавить, что суждение правомерно рассматривать как систему терминов. Суждения как формы мышления более содержательны, чем термины. Это обусловлено тем, что в ходе суждения термины взаимодействуют, дополняя друг друга, развивая и углубляя содержание информации, носителем которой выступает каждый отдельный термин. В отличие от последних, каждый из которых обозначает отдельные стороны, свойства явления, суждение рационально обозначает чувственно воспринятые характеристики явления в целом. Правомерно провести аналогию: суждение в мышлении выполняет функцию, во многом похожую на ту, которую на уровне чувственного познания выполняет восприятие. Суждение, как и восприятие, целостно представляет объект познания, но не на уровне чувств, что свойственно восприятию, а на уровне абстрактного мышления.

Другими словами, содержание аксиомы, касающейся суждений как форм абстрактно-логического мышления, можно представить системой следующих взаимосвязанных и взаимодействующих выводов:

а) суждения, как и термины, переводят чувственную информацию в рациональную, интеллектуальную, обретая, тем самым, статус форм абстрактно-логического мышления;

б) их онтологическим прообразом являются связи между отдельными сторонами, элементами познаваемых явлений;

в) другими словами, чувственную информацию именно о связях сторон, элементов познаваемых явлений, суждения обозначают терминологически, тем самым, переводят ее в рациональную, интеллектуальную;

г) наконец, суждения базируются на терминах, соединяют их в определенную систему, обеспечивая, тем самым, обогащение содержания каждого из них.

Итак, суждения – это формы абстрактно-логического мышления, обозначающие чувственную информацию о связях элементов, сторон познаваемых явлений, выражающие ее в рациональном виде.

Общепризнано, что наряду с терминами и суждениями, абстрактно-логическое мышление обслуживают и умозаключения. Как правило, их квалифицируют как специфические формы, утверждающие или отрицающие что-либо об анализируемом, познаваемом явлении. Этому трудно возразить, тем более, что каждая форма сознания в той или иной мере, что-либо отрицает или что-либо утверждает о познаваемом явлении. Вместе с тем, по-нашему мнению, в такой редакции вряд ли можно глубоко понять особенности, специфику умозаключений, увидеть их место в системе форм абстрактно-логического мышления.

Их природу и сущность можно выразить в следующих аксиоматических посылках:

а) умозаключения, как термины и суждения переводят чувственную информацию в рациональную, интеллектуальную, обретая тем самым, статус форм абстрактно-логического мышления;

б) их онтологическим основанием, прообразом являются воздействия явлений среды на познаваемый, анализируемый феномен;

в) другими словами, именно чувственную информацию о воздействиях явлений среды на познаваемое явление, умозаключения обозначают определенными символами, тем самым, переводят ее в рациональную, интеллектуальную;

г) умозаключения базируются, “строятся” на базе терминов и суждений, но их содержание богаче и не сводится к содержанию названных форм;

д) наконец, термины и суждения, “работающие” в системе умозаключений, обогащаются под воздействием новой информации, которую несут в себе умозаключения.

Важно заметить, что умозаключения, как формы абстрактно-логического мышления, еще не обеспечивают отражение сущностных характеристик познаваемых явлений. Они “работают” как и термины, и суждения на уровне его внешних проявлений. Это ни в коей мере не умоляет их роль в плане формирования, подготовки содержательно-логического уровня сознания и его форм.

Итак, умозаключения – это формы абстрактно-логического мышления, обозначающие чувственную информацию о воздействии явлений среды на познаваемое явление, выражающие ее в рациональном виде.

Продолжая анализ сознания личности, проводя аналогию с формами чувственного познания, нетрудно предположить, что абстрактно-логическая его ступень базируется не только на терминах, суждениях, умозаключениях, но и абстрактно-логических определениях или дефинициях. Последние призваны терминологически обозначить чувственную информацию о воздействии среды на познаваемое, анализируемое явление и тем самым перевести ее в рациональную. Еще раз подчеркнем, онтологическим основанием дефиниций является воздействие среды на познаваемое явление. Словом, если онтологическим основанием терминов выступают отдельные стороны познаваемого явления, суждений – связи его сторон, умозаключений – воздействия явлений среды на анализируемое явление, то абстрактно-логических определений или дефиниций – воздействие среды как некоего целостного образования на познаваемое явление.

Поскольку в науке и практике есть разные подходы к абстрактно-логическим определениям или дефинициям, то позволим себе привести несколько аргументов в пользу обоснования их статуса.

Для этого вернемся к анализу процесса активного познания человеком явлений действительности. Оставим его условия прежними, то есть продолжим речь о познании явления, находящегося в конкретной среде, но уже не на чувственном, а на рациональном уровне. Причем, еще раз подчеркнем – рациональная информация о явлениях действительности появляется у человека в силу действия двух информационных каналов: обработки чувственных данных и усвоения тех знаний, которые передаются ему другими субъектами. В результате рационального отражения познаваемого явления и среды, в которой оно существует, субъект получает информацию, выраженную в терминах, суждениях, умозаключениях, которые в единстве составляют для личности рациональную картину о познаваемом явлении и среде. Но активно действующей личности полученная информация нужна не для пополнения своих схоластических знаний, а для решения практических задач. Словом, неизбежно: полученная в данных условиях рациональная информация, интегрированная в рациональную картину, вступает в процесс взаимодействия с другой, ранее полученной информацией, носителем которой является конкретная личность. В этом процессе происходит разрешение ряда противоречий, обусловливающее возникновение четвертой формы рационального познания – определений, или дефиниций. В ходе мыслительного процесса каждой личности возникают и разрешаются следующие группы противоречий.

Во-первых, между чувственной и рациональной информацией о познаваемом явлении и среде.

Во-вторых, между актуальной рациональной информацией о явлении и среде, но и той рациональной информацией, носителем которой выступает личность, теми знаниями, которые она приобрела ранее.

В-третьих, противоречия между необходимостью выделения, фиксации наиболее устойчивых, значимых характеристик явления и постоянными изменениями как объекта, так и субъекта познания. Нетрудно убедиться, что результаты разрешения названных противоречий не могут быть выражены с использованием лишь терминов, суждений, умозаключений. Этому как раз и служат умозаключения.

Таким образом, установлено, что в процессе мышления термины, суждения, умозаключения, обозначающие отличающиеся друг от друга характеристики явления, взаимодействуют, иначе бы мышление потеряло связной характер. Результатом взаимодействия является новое интегральное качество, которое не выражают названные абстрактно-логические формы. Для его обозначения и необходимы определения.

Внимательно следящий за ходом анализа рациональной ступени познания читатель заметит, что не только определения, но и умозаключения выводились на базе анализа взаимодействия терминов и суждений, как определенных форм мышления, и справедливо поставит вопрос: не уйдем ли мы в “дурную бесконечность” выведения форм мышления, каждый раз анализируя отношения новой формы к старым?

Вопрос правомерен. Но есть и предел, границы процесса выведения рациональных форм мышления людей. Его не трудно установить. Термины обозначают отдельные стороны явлений; суждения – явление в целом, все его стороны в системе терминов; умозаключения снимают в себе содержание вышеназванных форм и обозначают ту информацию о конкретном явлении действительности, которая не обозначена в терминах и суждениях, выходит за их пределы, поскольку обозначает чувственную информацию о воздействии явлений среды на познаваемое. Но что происходит дальше? Сохраняется объективная потребность обозначить чувственную информацию о воздействии среды, как некоего целостного образования, на познаваемое явление. Эту функцию в абстрактно-логическом мышлении и выполняют определения или дефиниции. Более того, следует иметь в виду и то, что термины, суждения, умозаключения, обозначающие и выражающие информацию о специфических характеристиках анализируемого явления, воздействуют друг с другом, в силу чего в мышлении возникает новое интегральное содержание о конкретном явлении действительности. Оно, опять же, предполагает и новую форму для своего выражения. Этой цели служат абстрактно-логические определения или дефиниции.

Словом, определения или дефиниции – это формы абстрактно-логического мышления, обозначающие чувственную информацию о воздействии среды, как некого целого, на познаваемое явление, и выражающие ее в рациональном виде. Это с одной стороны. С другой – они отражают интегральное содержание, возникающее в результате взаимодействия между всеми терминами, суждениями, умозаключениями, обозначающими информацию о данном явлении и явлениях среды его существования. Определения отражают специфику познаваемого явления (явлений) и его место в системе связей с другими феноменами. Их онтологическим прообразом является механизм воздействия среды на познаваемое явление.

Абстрактно-логические определения или дефиниции интегрируют в себе данные двух уровней: чувственного и рационального. Содержание информации первого уровня они выражают опосредованно, второго – непосредственно. В определениях происходит окончательное соединение содержания чувственной и рациональной ступеней познания. Они обладают более богатым, чем все другие вышеназванные формы, содержанием о явлениях. Нетрудно заметить, что абстрактно-логические определения или дефиниции выполняют на этапе рационального познания фактически ту же функцию, что и чувственные определения на предыдущем этапе познания.

Таким образом, схематично место абстрактно-логических определений или дефиниций в системе сознания можно представить так.

Итак, основными формами, обслуживающими абстрактно-логическое мышление, являются: термины, суждения, умозаключения и определения или дефиниции. Это, во-первых.

Во-вторых, названные формы возникают на базе основных форм чувственной ступени познания. Собственно, формы абстрактно-логического мышления и формы чувственного познания находятся в отношениях диалектического соответствия и диалектического отрицания. Так, каждой форме чувственного познания достаточно строго соответствует определенная форма рациональной ступени познания. В частности: ощущениям – термины, восприятиям – суждения, представлениям – умозаключения, чувственным определениям – дефиниции. Причем формы рациональной ступени поднимают содержание форм чувственной ступени познания на более высокий уровень.

В-третьих, формы абстрактно-логического познания органично связаны между собой и не могут существовать друг без друга. Более того, они строго между собой координированы и субординированы. Наиболее простой и наименее содержательной формой является термин. Термины – основания выражения содержания суждений. Термины и суждения, в свою очередь, являются базой для возникновения умозаключений. Способ отношений между терминами, суждениями и умозаключениями лежит в основании содержания абстрактно-логических определений или дефиниций.

В-четвертых, анализ мышления показывает, что формы абстрактно-логического познания, как и формы чувственного познания, подчинены определенным закономерным связям. Особое место среди них занимает закономерность повышения уровня конкретности содержания каждой последующей формы по отношению к предыдущей. Иными словами, наименее содержательны термины, более конкретны по содержанию суждения, умозаключения и определения. Причем, высшей степенью конкретности содержания в рамках абстрактно-логического мышления обладают определения или дефиниции.

Этот вывод следует из того, что термины обозначают информацию об отдельных сторонах явлений действительности; суждения, как система терминов – уже информацию о связях сторон анализируемого явления, о явлениях в целом; умозаключения – расширяют границы познания – несут информацию о воздействии явлений среды на анализируемое, познаваемое явление; наконец абстрактно-логические определения или дефиниции обозначают чувственную информацию о воздействии среды на анализируемое явление. В то же время, они обеспечивают интеграцию всей абстрактно-логической информации о явлениях, которую обозначают и несут в себе термины, суждения и умозаключения. Это делает их содержание наиболее конкретным по отношению к другим формам абстрактно-логического мышления.

В-пятых, поскольку содержание абстрактно-логических форм познания различно, постольку их значимость для решения субъектом практических задач тоже различна. Особенно продуктивна роль определений. Практика показывает, что наиболее глубокие решения способен принять и принимает тот субъект социального действия, который “вывел” свои знания об объекте на уровень определений, дефиниций. А это возможно в том случае, если в данных конкретных условиях субъекту социального действия удалось разрешить основную массу противоречий, относящихся к познанию тех или иных явлений действительности.

Подчеркивая особую роль определений, ни в коей мере нельзя умолять значение других рациональных форм познания. Все они необходимы. Каждый субъект в процессе познания должен использовать весь арсенал гносеологических форм, стремясь диалектично переходить от более простых к более сложным формам и, в конце концов, к определениям.

Все вышеназванные абстрактно-логические формы обладают определенным аналитическим «потенциалом», и все же, наиболее тесно с анализом связаны термины, поскольку они обозначают информацию об отдельных сторонах явлений, то есть информацию не интегральную по своему содержанию, а действительно аналитическую. Другими словами, поскольку термины «работают» с информацией об отдельных сторонах, элементах явлений действительности, а анализ и предполагает расчленение познаваемых явлений на элементы, стороны, то их продуктивность в осуществлении аналитических процедур, как правило, наиболее высокая.

Вместе с тем, это не умоляет роли других форм абстрактно-логического мышления в процессе анализа. У каждой из них свой «маневр», обусловленный их функциями и возможностями. Практика свидетельствует, что наибольшая аналитичность названных форм проявляется в ситуациях их предметного, системного использования.

Отдавая дань должного как формам абстрактно-логической, так чувственной ступеней сознания, мы не имеем права забывать о том, что они не обеспечивают отражение сущности явлений, остаются, как правило, формами обыденного, а не содержательно-логического, интеллектуального, научного уровня анализа. Словом, рациональный уровень познания не исчерпывается формами абстрактно-логического мышления. Наряду с ними существуют и действуют формы высшей ступени познания (анализа) – это формы содержательно-логического мышления.

 

Содержательно-логическая ступень анализа и ее формы: (понятия, законы, принципы, научные определения)

 

Прежде всего, следует заметить, что содержательно-логическая ступень познания является высшей ступенью сознания человека. Понятия содержательно-логическая, интеллектуальная, научная ступень познания – синонимы. Используя формы и средства этой ступени познания, человек получает возможность постигнуть сущность явлений, ставших объектом его анализа. Как соотносится интеллектуальная, содержательно-логическая, научная ступень анализа с чувственной и абстрактно-логической ступенями познания? Их соотношение можно выразить рядом взаимосвязанных аксиоматических посылок.

Во-первых, в основании содержательно-логической ступени познания (анализа) лежат, прежде всего, данные чувств. Другими словами, содержательно-логическое познание не может полностью абстрагироваться от чувственной информации, информации, полученной с помощью чувств.

Во-вторых, содержательно-логическая ступень формируется и существует благодаря и абстрактно-логическому мышлению. Последнее переводит чувственную информацию в интеллектуальную, вооружает человека законами формальной логики, которые на законах формальной логики подготавливают главное основание содержательно-логического мышления. Оно на них базируется, развивая и углубляя их, наполняя эти законы конкретным содержанием.

В-третьих, содержательно-логическая ступень одновременно опирается на чувственную и абстрактно-логическую ступени сознания. Развитое содержательно-логическое мышление не может сформироваться только на базе чувственной или только на базе абстрактно-логической информации. Необходимым и достаточным основанием ее формирования выступают обе эти ступени, “работающие” в единстве.

В-четвертых, содержательно-логическая ступень познания, формируясь на базе чувственной и абстрактно-логической, не сводится к ним. Ее содержание значительно богаче, глубже, продуктивнее, поскольку обеспечивает отражение сущности анализируемых явлений.

В-пятых, содержательно-логическая ступень сознания, сформировавшись, оказывает обратное воздействие на чувственную и абстрактно-логическую ступени. Причем, это воздействие ведет к обогащению содержания последних.

В-шестых, очевидно, что только в интересах познания, правомерно определять “границы” трех названных ступеней сознания. В реальном сознании, как уже отмечалось, они существуют в единстве, образуя интегральное качество сознания, превращая его в целостную систему, решающую задачи отражения, познания, анализа окружающего человека мира.

Наконец, в-седьмых. Единство, взаимодействие, взаимосвязь трех ступеней (уровней) сознания, не отменяет особенности каждой из них. Это дает право поставить вопрос о специфических формах отражения анализируемых явлений, обслуживающих содержательно-логическую ступень сознания.

Очевидно, что и на содержательно-логическом уровне сознание человека отражает, прежде всего, четыре всеобщих характеристики, присущих любому явлению действительности. Речь, как и прежде, идет об отражении отдельных сторон анализируемых явлений; их связей между собой; воздействий явлений среды на анализируемое явление; наконец, взаимодействий предметной ситуации (в целом) на познаваемое явление.

Ранее отмечалось, что эти же характеристики в названных анализируемых явлениях отражаются и на чувственной, и на абстрактно-логической ступенях познания, но с использованием своих специфических форм. На чувственной ступени это: ощущения (чувственная информация об отдельных сторонах анализируемого явления), восприятия (чувственная информация о связях отдельных сторон анализируемого явления), представления (чувственная информация о воздействии явлений среды на познаваемое явление), наконец, чувственные определения (чувственная информация о воздействии среды, предметной ситуации на анализируемое явление). На абстрактно-логической ступени сознания названные характеристики соответственно воспроизводят следующие формы: термины – суждения – умозаключения – дефиниции (абстрактно-логические определения).

Поскольку содержательно-логическая или научная ступень отличается от вышеназванных, то правомерно поставить вопрос о ее специфических формах, “обслуживающих” этот высший уровень сознательной деятельности человека. Обратившись к любой науке, нетрудно обнаружить, что в каждой из них традиционно работают четыре универсальных формы: понятия (категории), законы, принципы и научные определения. Последние нередко квалифицируют как научные идеи, то есть мысли, достигшие в данных условиях высшей степени объективности. Если попытаться соотнести содержание каждой из этих форм с их онтологическим прообразом, то нетрудно обнаружить следующие аксиоматические зависимости. В частности, понятия (категории) фактически во всех науках определяют как формы, отражающие сущность отдельных сторон познаваемых явлений.

Понятия (категории) имеют один и тот же объект отражения с ощущениями и терминами. Это отдельные стороны анализируемого явления. Правда, отражают, «воспроизводят» они отдельные стороны познаваемых явлений с разной степенью глубины. Пользуясь известной терминологией о работе в ходе познания сущностей разных «порядков», правомерно констатировать, что ощущения воспроизводят сущность «первого порядка», термины – сущность «второго порядка», понятия (категории) – сущность «третьего порядка». Другими словами, научные понятия (категории) отражают сущность отдельных сторон, элементов анализируемых явлений наиболее глубоко.

Как же можно представить «картину» взаимодействия, преемственности и взаимодополнения друг с другом: ощущений, терминов и понятий (категорий)? По-нашему мнению, она выглядит следующим образом.

Первое. Все три формы имеют общее онтологическое основание. Им являются отдельные стороны, элементы познаваемых явлений.

Второе. Несмотря на онтологическое единство названных форм, их гносеологические и методологические возможности существенно различаются. Главный индикатор различия – это степень «проникновения» в сущность анализируемого явления, глубина ее отражения. (Речь, прежде всего, идет об отражении сущностей разных порядков, названными формами).

Третье. Процесс формирования и функционирования научных понятий (категорий) существенно обедняется, если осуществляется без учета возможностей ощущений и терминов.

Четвертое. В реальном процессе анализа отдельных сторон явлений одновременно «работают» и ощущения, и термины, и научные понятия (категории).

В системе научного знания, наряду с понятиями (категориями) существует специфическая научная форма, призванная отражать и выражать сущность связей между явлениями. Это закон.

Закон – это форма научного познания, отражающая сущность связей между явлениями действительности. Следуя логике нашего подхода к познанию явлений, впервые человек сталкивается с необходимостью использования данной научной формы тогда, когда пытается узнать сущность связей между отдельными сторонами анализируемого феномена. В этом контексте, не будет ошибкой, если мы констатируем, что закон – это форма научного знания, которая отражает сущность связей между отдельными сторонами (элементами) познаваемых, анализируемых явлений.

Ведя речь о законе, как форме научного знания, нельзя оставить без внимания наиболее широко распространенное в науке понимание закона. Его традиционно определяют как существенную, необходимую, устойчивую, и повторяющуюся связь явлений. Это принятое определение закона, по нашему мнению, не вступает в непреодолимое противоречие с вышеприведенным.

Во-первых, и в одном и в другом случае речь идет о существенных связях.

Во-вторых, о связях необходимых, поскольку стороны одного и того же явления, формирующие его, не могут находиться в случайных взаимодействиях.

В-третьих, вышеприведенное определение конкретизирует, углубляет традиционное понимание закона, поскольку указывает его онтологический прообраз, то есть на существенные связи сторон познаваемых явлений.

Наконец, в-четвертых, повторяемость существенных связей сторон вытекает из того, что наука всегда имеет дело не с единичными явлениями, а с их группами, классами, видами.

На научном уровне законы решают те же задачи, что делают восприятия и суждения соответственно на чувственном и абстрактно-логическом уровнях. У восприятий, суждений и законов один и тот же онтологический прообраз – это связи элементов (сторон) познаваемых явлений друг с другом. Воспроизводят, отражают их названные формы с разной степенью глубины. Возвращаясь с известной терминологии о «порядках» отражения сущности, нетрудно сделать аксиоматический вывод: восприятия дают нам сущность «первого порядка», суждения – «второго порядка», законы – сущность «третьего порядка».

В ходе каждой аналитической процедуры одновременно «работают» все три названые формы только с разной степенью продуктивности. Нетрудно понять, что, как правило, наиболее продуктивны законы. Вместе с тем, нельзя сбрасывать со счетов и восприятия, и суждения. В этой связи важно видеть их взаимодействие друг с другом. Его можно выразить в следующих аксиоматических позициях.

Первая. У восприятий, суждений, законов – один и тот же онтологический прообраз – связи между элементами (сторонами) анализируемых явлений.

Вторая. Восприятия, суждения, законы взаимодействуют и взаимодополняют друг друга в ходе каждой аналитической процедуры.

Третье. В системе: восприятия, суждения, законы, последние играют наиболее значимую роль, поскольку наиболее глубоко отражают сущность связей между явлениями.

Четвертая. Законы формируются с участием восприятий и суждений, в то же самое время они оказывают обратное на них воздействие, обогащая их содержание.

Наряду с понятиями (категориями) и законами в систему форм научной ступени познания входят принципы. Принципы – формы научного познания, отражающие сущность воздействия явлений среды на анализируемый феномен.

Принципы на научной ступени познания выполняют ту же функцию, что и представления на чувственной ступени, а умозаключения на формально-логической ступени познания. У них один и тот же онтологический прообраз – это воздействия явлений среды на познаваемое, анализируемое явление. Единое онтологическое основание названных форм обусловливает их единство, но не отменяет специфику каждой из них. Единство и различие представлений, умозаключений и принципов правомерно выразить в следующих аксиомах:

— представления и умозаключения – необходимая чувственная и формально-логическая база принципов;

—           принципы более глубоко, чем представления и умозаключения отражают сущность воздействий явлений среды на анализируемый (познаваемый) феномен;

—           в каждой аналитической процедуре одновременно «работают» все названные формы;

—           принципы, базируясь на представлениях и умозаключениях, оказывают на них обратное воздействие, обогащая, развивая их содержание.

Наряду с понятиями, законами, принципами содержательно-логическую ступень познания обслуживают научные определения.

Научные определения – это формы научного познания, которые отражают сущность воздействий предметной ситуации (среды) на анализируемое явление. Научные определения на содержательно-логическом уровне выполняют ту же функцию, что и чувственные определения и функции на своих уровнях: чувственном и формально-логическом соответственно.

Диалектику взаимодействий чувственных определений, дефиниций и научных (содержательно-логических) определений правомерно выразить в следующих аксиомах:

—           у названных форм – одно и тоже онтологическое основание – воздействия среды на анализируемый феномен;

—           они едины, но отражают воздействия среды (предметной ситуации) на анализируемый феномен с разной степенью глубины;

—           наиболее глубоко сущность воздействий среды на анализируемое явление отражают научные определения;

—           в каждом аналитическом процессе одновременно «работают» чувственные определения, дефиниции, научные определения, они взаимодействуют, дополняя и обогащая друг друга;

—           чувственные определения и дефиниции – необходимая база для формирования научных определений;

—           последние, сформировавшись, оказывают обратное воздействие на первые, развивая, углубляя их содержание и функциональные возможности.

Таким образом, завершая аксиоматическую характеристику форм содержательно-логической (научной) ступени познания можно резюмировать следующее.

Основными формами содержательно-логической ступени познания являются: понятия (категории), законы, принципы, научные определения (идеи).

1.         Эти формы отражают соответственно: сущность отдельных сторон познаваемого явления; сущность связей их между собой; сущность связей познаваемого явления с явлениями среды и их воздействие на него; наконец, сущность предметной ситуации, в которой находится познаваемое явление и ее воздействие на него.

2.         Между формами всех ступеней познания существует достаточно строгое соответствие. В частности, отдельные стороны познаваемого явления соответственно воспроизводят: чувственная ступень – ощущения, абстрактно-логическая – термины, содержательно-логическая – понятия. 

Связи отдельных сторон между собой соответственно с уровнями сознания воспроизводятся: восприятиями – суждениями – законами. Связи познаваемого явления с явлениями среды: представлениями – умозаключениями – принципами. Наконец, сущность воздействий предметной ситуации на познаваемое явление обеспечиваются в жизни следующими формами: чувственными определениями – дефинициями – научными определениями (идеями).

Схематично положение, взаимодействие и соответствие друг другу форм всех трех уровней сознания человека можно представить следующим образом.

О ==== S

4. Формы каждой ступени познания выполняют специфические функции, отражают познаваемые феномены с разной степенью глубины. Формы чувственной ступени познания (ощущения, восприятия, представления, чувственные определения) несут первичную информацию о познаваемых явлениях. Формы абстрактно-логической ступени (термины, суждения, умозаключения, дефиниции) переводят чувственную информацию в вербальную, обозначают ее, закрепляют в системе знаков, обеспечивают взаимопонимание людей по поводу чувственной информации. Наконец, формы содержательно-логической (научной) ступени познания (понятия, законы, принципы, научные определения) отражают сущностные характеристики познаваемых явлений. Другими словами, на этом уровне мы имеем дело уже с научным познанием, с научным анализом явлений, формами которого являются: понятия (категории), законы, принципы, научные определения (идеи).

Может сложиться впечатление, что нас интересуют формы каждой ступени познания сами по себе, как предмет теоретического исследования. Это далеко не так. Как показывает практика, на основании каждой из названных форм познания, если субъект их использует целенаправленно в ходе своей жизнедеятельности, возникает строго определенное методологическое средство, то есть средство, позволяющее решать конкретные практические задачи. Давайте конкретизируем эту посылку.

А.А. Кокорин, д.фил.н.

Абстрактное мышление (рациональное или абстрактно-логическое познание)

Оно представляет собой более высокий уровень и позволяет проникнуть в сущность объектов познания, открывать их качественные характеристики, закономерности. Это, как правило, опосредованное познание, не предполагающее прямого воздействия с объектом познания. Только с помощью мышления можно понять закономерности, «увидеть» причинно-следственные связи.

Формы абстрактного мышления:

а) понятия;

б) суждения;

в) умозаключения.

Понятие- исходная и ведущая форма логического мышления, в которой отражены существенные признаки и связи объекта познания. Понятия могут выражать качественную определенность, уникальность объекта познания, а также характеристики, которые являются общими для сходных объектов. Оперирование понятиями позволяет находить общие, особенные, частные, существенные признаки и на основе их осуществлять классификацию объекта познания. Формирование понятий осуществляется вне непосредственного взаимодействия с объектом познания, когда субъект познания как бы «со стороны» осмысливает информацию о познаваемом объекте. При этом активно используются такие приемы мышления, как абстрагирование, идеализация, сравнение, обобщение, определение.

Суждение — представляет всякую завершенную мысль об объекте познания. Суждение выражается обычно предложением, хотя вопросительные, большинство побудительных предложений, не считаются суждениями. Нельзя относить к суждениям мысли и предложения как грамматическую их форму, если они выглядят неопределенными по смыслу, когда отсутствует логическая связь между основными понятиями. В суждении всегда должны быть понятия – такие слова, которые имеют объем и содержание, несут важную информацию об объекте познания.

Умозаключение – представляет форму мышления, когда на основе одного или нескольких суждений получается новое знание. Суждения в умозаключении могут нести новые знания о существенных признаках и связях изучаемого объекта.

Абстрактно-логическое или рациональное познание сегодня является основным способом глубокого и всестороннего познания бытия. Но оно с необходимостью опирается на чувственное познание и через него реализует теоретические знания.

Особенность абстрактно-логического познания:

а) способность к отражению общего в предметах;

б) способность к отражению существенного в предметах;

в) способность к конструированию;

г) способность к опосредованному познанию действительности.

Следовательно, абстрактно-логическое познание характеризуется способностью создания абстракций.

3. Интуиция (от лат. intuition – рассматривание) – способность постижения истины путем прямого ее усмотрения, без обоснования с помощью доказательств.

Интересно характеризует эту способность Луи де Бройль ( 1892-1972) французский физик, создатель квантовой механики, академик, лауреат Нобелевской премии. Воображение, пишет он, позволяет нам представить себе сразу часть физической картины мира в виде наглядной картины, выявляющей некоторые ее детали. Интуиция же, неожиданно раскрывает нам в каком-то внутреннем прозрении, не имеющем ничего общего с тяжеловесным силлогизмом, глубины реальности, является возможностями органически присущими человеческому уму; они играли и повседневно играют существенную роль в создании науки. Человеческая наука, по существу рациональная в своих основах и по своим методам, может осуществлять свои наиболее замечательные завоевания лишь путем опасных внезапных скачков ума, когда проявляются способности, освобожденные от тяжких оков строгого рассуждения.

Условия проявления интуиции.

1. Основательная профессиональная подготовка, глубокое знание изучаемой проблемы.

2. Наличие поисковой ситуации, состояние проблемности.

3. Наличие у субъекта поисковой доминанты – стойкого очага возбуждения в коре головного мозга.

4.Наличие «подсказки», как «пускового механизма» для интуиции.

Свойства интуиции.

1. Неожиданность решения проблемы.

2. Неосознанность путей, средств решения проблемы.

3. Непосредственность постижения истины на сущностном уровне.

4. Вероятностный характер

Виды интуиции.

Соответствуют видам предметно-практической деятельности людей:

— техническая;

— научная;

— врачебная;

— художественная;

— обыденная и др.

Природа интуитивного знания (озарения) скрыта в процессах перехода от чувственных образов к понятиям и от понятий к чувственным образам, а также в быстрых мыслительных процессах, развертываемых в подсознании.

Учебное пособие для юридических вузов

§ 2. Предмет науки логики.

Основным типом мышления является понятийное (или абстрактно-логическое). Именно его исследует логика. Абстрактное мышление — это процесс рационального[1] отражения объектив­ного мира в понятиях, суждениях, умозаключениях, гипотезах, теориях, позволяющий проникать в сущность, в закономерные связи действительно­сти, творчески преобразовывать ее сначала в теории, а затем и на практике.

Как известно, все предметы, явления и процессы имеют как содержание, так и форму. Наши мысли не являются исключением из этого правила. Со­держание мыслей человека бесконечно разнообразно: мы можем думать и рассуждать о политике и искусстве, о любви и ненависти, о реформе поли­тической системы и смысле жизни. При этом вполне очевидно, что в содер­жательном плане мысли математика отличаются от мыслей юриста, музы­кант думает совсем о другом, нежели строитель. И ученый использует в своих рассуждениях такие понятия и термины, которые, как правило, не употребляются в повседневном мышлении и языке.

В этой связи деятельность юриста, например, сопряжена с мышлением, имеющим правовой характер. Правовое мышление, в каких бы областях оно ни проявлялось: в нормотворчестве, в следственной деятельности, в судеб­ной практике, в теории, в юрисконсультской работе — обладает рядом устойчивых общих характеристик. Основанием для выделения правового мышле­ния в отдельный вид является самостоятельность права как социальной реальности. Правовое мышление не просто отражает правовые явления, а через них — все основные виды отношений людей, но и конструирует свое­образную картину социального бытия. Связность этой картины также обес­печивается логическими средствами.

В различных по содержанию мыслях можно обнаружить нечто сущест­венно общее. Оно характеризуется не конкретным содержанием этих мыс­лей, а типичностью, схемой, способом построения. При этом все содержа­тельное многообразие укладывается в сравнительно небольшое число мыслительных форм. Дело в том, что логический строй мышления человека обладает очень важным свойством — какую бы словесную оболочку ни при­нимали наши мысли, на каком бы языке ни излагались, они обязательно должны принять общечеловеческие формы. Без этого невозможно осуществить обмен мыслями людей разных поколений и профессий, а также взаим­ное понимание представителей стран и народов.

Наши знания о форме достаточно многообразны. Говорят, например, о форме ведения протокола допроса. Мы различаем форму правления, форму территориально-государственного устройства, форму политического режима, которые в совокупности составляют форму государства. Форма государства -это способ организации государственной власти, порядок образования орга­нов государства, их структура и взаимоотношения в едином механизме. В приведенных примерах форма, таким образом, отражает способ связи со­держательных частей.

Многообразно понимается и логическая форма. Наши мысли слагаются из некоторых содержательных частей. Способ их связи и представляет фор­му мысли.

Так, различные предметы отражаются в абстрактном мышлении одина­ково — как определенная связь их существенных признаков, то есть в форме понятия. В форме суждений отражаются отношения между предметами и их свойствами. Изменение свойств предметов и отношений между ними отражается в форме умозаключений. Следовательно, каждая из основных форм абстрактного мышления имеет нечто общее, что не зависит от конкретного содержания мыслей, а именно: способ связи элементов мысли — признаков в понятии, понятий в суждении и суждений в умозаключении. Обусловлен­ное этими связями содержание мыслей существует не само по себе, а в оп­ределенных логических формах: понятиях, суждениях и умозаключениях, каждая из которых имеет при этом свою специфическую структуру.

Возьмем, к примеру, два высказывания: «Некоторые юристы — препода­ватели» и «Некоторые общественно опасные деяния являются преступлени­ем против личной собственности граждан». Заменим все их содержательные компоненты символами. Скажем, то, о чем мыслим — латинской буквой S, а то, что мыслится об S, — латинской буквой Р. В итоге получим в обоих слу­чаях одни и те же элементы мысли: «Некоторые S есть Р». Это и есть логи­ческая форма приведенных суждений. Она получена в результате отвлече­ния от конкретного содержания.

Таким образом, логическая форма (или форма абстрактного мышле­ния) — это способ связи элементов мысли, ее строение, благодаря которому содержание существует и отражает действительность.

В реальном процессе мышления содержание и форма мысли существуют в неразрывном единстве. Нет чистого, лишенного формы содержания, нет чистых, бессодержательных логических форм. Например, приведенная вы­ше логическая форма суждений «Некоторые S есть Р» имеет все-таки некоторое содержание. Из нее мы узнаем, что у всякого предмета мысли, обо­значаемого буквой S, есть признак, обозначаемый буквой Р. Причем слово «некоторые» показывает, что признак Р принадлежит только части элемен­тов, составляющих предмет мысли. Это и есть «формальное содержание».

Однако в целях специального анализа мы можно отвлекаться от конкрет­ного содержания мысли, сделав предметом изучения ее форму. Исследование логических форм безотносительно к их конкретному содержанию и составля­ет важнейшую задачу науки логики. Отсюда и ее название – формальная.

При этом следует иметь в виду, что формальная логика, исследуя формы мышления, не игнорирует его содержание. Формы, как было уже отменено, наполнены конкретным содержанием, связаны с совершенно определенной, специфической, предметной областью. Вне этого конкретного содержания форма существовать не может, и сама по себе ничего не определяет с прак­тической точки зрения. Форма всегда содержательна, а содержание всегда оформлено. С этими сторонами мышления и связано различение его истин­ности и правильности. Истинность относится к содержанию мыслей, а правильность — к их форме.

Рассматривая истинность мышления, формальная (двузначная) логика ис­ходит из того, что под истиной понимается такое содержание мысли, которое соответствует самой действительности. Понятие «истина» в правовой сфере тесно связано с понятием «правда» («Обязуюсь говорить правду и только правду!»). Правдивое — это не только истинное, но и правильное, честное, справедливое. Если же мысль по своему содержанию не соответствует дейст­вительности, то она является ложной. Отсюда истинность мышления — это его коренное свойство, проявляющееся в способности воспроизводить действи­тельность такой, какова она есть, соответствовать ей по своему содержанию. А ложность — свойство мышления искажать это содержание, извращать его.

В правовой сфере большое практическое значение имеет различение ви­дов ложного, например, «дезинформации», «заблуждения», «клеветы». Дезинформация — это передача (объективно) ложного знания как истинного или (объективно) истинного знания как ложного. Заблуждение же представляет собой непреднамеренное несоответствие суждений или понятий объек­ту. Клеветой называется распространение заведомо ложных сведений, порочащих честь и достоинство другого лица или подрывающих его репутацию. Сокрытие истины также является разновидностью ложного. Вот почему закон определяет меру ответственности человека за преднамеренные ложные мысленные построения, потому что ложь социальна, она не связана с объек­том познания.

Другой важной характеристикой мышления является его правильность. Правильность мышления — это его коренное свойство, которое также прояв­ляется в отношении к действительности. Оно означает способность мышления воспроизводить в структуре мысли объективное строение бытия, соответствовать действительным отношениям предметов и явлений. И наоборот, неправильность мышления означает его способность искажать структурные связи и отношения бытия.

Формальная логика отвлекается от конкретного содержания мыслей, а не от содержания вообще. Поэтому она учитывает истинность или ложность исследуемых суждений. Однако центр тяжести она переносит на правильность мышления. Причем сами логические структуры рассматриваются независимо от составляющего их логического содержания. Поскольку в задачу логики входит анализ именно правильного мышления, то оно по имени этой науки называется еще логичным. Правильное (логичное) мышление имеет следующие существенные признаки: определенность, непротиворечи­вость, последовательность и обоснованность.

Определенность — это свойство правильного мышления воспроизводить в структуре мысли реальные признаки и отношения самих предметов и яв­лений, их относительную устойчивость. Она находит свое выражение в точ­ности и ясности мысли, отсутствии сбивчивости и путаницы в элементах мысли и самих мыслях.

Непротиворечивость — свойство правильного мышления избегать в структуре мысли противоречий, которых нет в отражаемой действительнос­ти. Оно проявляется в недопустимости логических противоречий в строгих рассуждениях.

Последовательность — свойство правильного мышления воспроизводить структурой мысли те структурные связи и отношения, которые присущи са­мой действительности, способность следовать «логике вещей и событий». Она обнаруживается в непротиворечивости мысли самой себе.

Обоснованность есть свойство правильного мышления отражать объектив­ные причинно-следственные связи и отношения предметов и явлений окру­жающего мира. Оно проявляется в установлении истинности или ложности мысли на основе других мыслей, истинность которых установлена ранее.

Указанные существенные признаки правильного мышления не произ­вольны. Они представляют собой результат взаимодействия человека с внешним миром. Их нельзя ни отождествлять с коренными свойствами са­мой действительности, ни отрывать от них. Правильность мышления, отра­жая, прежде всего, объективные законы мира, возникает и существует сти­хийно, задолго до возникновения каких бы то ни было правил. Сами логические правила — это лишь вехи на пути постижения особенностей пра­вильного мышления, действующих в них законов, которые неизмеримо бо­гаче любого, пусть даже самого полного, свода таких правил. Но правила вы­рабатываются на основе этих законов именно для того, чтобы регулировать последующую мыслительную деятельность, обеспечивать ее правильность уже сознательно.

Таким образом, логическая правильность рассуждений обусловлена за­конами абстрактного мышления. Нарушение вытекающих из них требова­ний ведет к логическим ошибкам. Закон мышления — это необходимая, су­щественная, устойчивая связь мыслей в процессе рассуждения. Данные законы одинаковы для всех людей, независимо от их социальной и нацио­нальной принадлежности. Логические законы действуют независимо от во­ли людей, не созданы по их желанию. Они являются отражением связей ве­щей объективного мира. При этом человек не просто включается в сферу действия определенного логического закона, не только пассивно подчиняет­ся его регулирующему влиянию, но и вырабатывает сознательное отноше­ние к объективно протекающим мыслительным процессам. Познание зако­нов логики, определение их объективной основы позволяет выдвинуть и сформулировать ее принципы. Принципы формальной логики, как и прин­ципы любой науки, представляют собой единство объективного и субъек­тивного. С одной стороны, они выражают объективное содержание законов логики, с другой — выступают правилами мыслительной деятельности человека. Именно через осознанное формулирование принципов законы логики становятся регуляторами мыслительной деятельности людей.

Таким образом, формальная логика, чтобы быть средством обнаружения истины, должна, на основе изучения формальных структур абстрактного мышления, сохранять и учитывать логическую правильность рассуждений, обусловленную логическими законами.

Какие же аспекты абстрактного мышления изучает формальная логика? Во-первых, она рассматривает абстрактное мышление как инструмент по­знания мира, как средство получения формально-истинных знаний.

Во-вторых, ее интересует практическая результативность и правильность опосредованного (выводного) знания, полученного из раннее установлен­ных и проверенных истин без обращения к опыту, а только в результате уче­та формально-логических законов и применения соответствующих правил абстрактного мышления.

В-третьих, абстрактное мышление рассматривается как формальный процесс, имеющий свою особую структуру, отличающуюся от структуры объективно-истинного содержания мышления.

Вот почему формальная логика позволяет отвлекаться от содержания объекта и сосредоточивать внимание только на формах, в которых протекает тот или иной мыслительный процесс. Эти аспекты взаимозависимости Логики и мышления определяют особенности формальной логики как науки.

И так, формальная логика — это наука об общезначимых формах и сред­ствах мысли, необходимых для рационального познания бытия и его кон­кретных видов. К общезначимым формам мысли относятся понятия, сужде­ния, умозаключения. Общезначимыми средствами мысли являются правила (принципы), логические операции, приемы и процедуры, формально-логи­ческие законы, лежащие в их основе, то есть все то, что служит целям осу­ществления правильного абстрактного мышления.

Следовательно, предмет формальной логики составляют:

1) формы мыслительного процесса — понятие, суждение, умозаключе­ние, гипотеза, доказательство и др.;

2) законы, которым подчиняется абстрактное мышление в процессе по­знания объективного мира и самого мышления;

3) методы получения нового выводного знания — сходства, различия, со­путствующих изменений, остатков и др.;

4) способы доказательства истинности или ложности полученных зна­ний — прямое или косвенное подтверждение, опровержение и т.д.

Таким образом, логика в наиболее широком понимании ее предмета ис­следует структуру абстрактного мышления, раскрывает лежащие в его осно­ве закономерности. Однако абстрактное мышление, обобщенно, опосредо­ванно и активно отражая действительность, неразрывно связано с языком. Языковые выражения являются той реальностью, строение и способ употребления которой дает нам знание не только о содержании мыслей, но и об их форме, о законах мышления. Поэтому в исследовании языковых выраже­ний и отношений между ними логика видит одну из своих основных задач.

Некоторые аспекты мышления

Что такое мышление 

-это высший познавательный психический процесс,представляющий собой порождение нового знания
-мышление всегда связано с проблемой,ситуацией,задачей,которую нужно решить
-мышление как отдельный психический процесс не существует

-мышление вмешивается во все познавательные психические процессы

-результатом мышления может быть новый способ взаимодействия с реальностью

Аспекты мышления

Национальный аспект-менталитет и специфические традиции, которые исторически заложены в человеке,проживающем в определенной местности.

Общественно-политические нормы-формируются под влиянием социума.

Личные интересы-субъективный фактор,который может повлиять на окончательное решение проблемного вопроса.

Виды мышления

Все мы с вами знаем, что в психологии принято делить мышление на типы:абстрактное,логическое,абстрактно-логическое,наглядно-действенное, наглядно-образное,теоритическое и практическое.

Нас как методистов по мышлению(это мы с  вами уважаемые коллеги так называемся,если хотим заниматься мышлением),должно интересовать практическое мышление.

Основная задача практического мышления разработка средств практического преобразования действительности:постановка целей,создание плана,проекта.

Основные мыслительные операции

Анализ-мыслительное разчленение предмета,явления,ситуаций и выявление составляющих элементов,частей,моментов,сторон

Синтез-мыслительное соотнесение,сопоставление,установление связи между различными элементами

Абстракция-отвлечение существенных свойств предмета от не существенных

Сравнение-мыслительное соотнесение каких либо объектов и выделение в них общего или различного

Обобщение-мыслительное соотнесение и выделение общего в двух или нескольких различных явлениях или ситуациях 

Конкретизация-операция обратная абстракции и обобщению.

 

Все эти операции мы с вами используем как в повседневной жизни, так и при работе с технологией по «Методологии мышления»,очень часто мы с вами даже не осознаем,что в данный конкретный момент используем ту или инную мыслительную операцию.

 

Фазы мышления

1.Осознание наличия проблемы(является результатом потока информации,которая обрабатывалась в течении определенного периода времени) 
2.Поиск возможного решения и формирование альтернативных гипотез

3.Всесторонняя проверка гипотез на предмет применимости их в практической деятельности

4.Решение проблемы проявляется в получении ответа на проблемный вопрос и фиксирование его в сознании.

Уровни мышления

1.Произвольные мысли,которые находятся на поверхности сознания(их легко осознавать и контролировать)

2.Автоматические мысли-это некоторые стереотипы,которые устоялись как в обществе,так и в сознании человека(в большинстве случаев они закладываются в процессе воспитания и обучения)

3.Когнитивные убеждения-это сложные конструкции и схемы,которые возникают на бессознательном уровне(они трудно поддаются изменению)

 

Качества мышления


Глубина-проявляется в степени проникновения в сущность явления,процесса,умение предусматривать возможные последствия событий и процессов.

Самостоятельность-выражается в умении видеть новую проблему,поставить новый вопрос и затем решить задачи своими силами.В самостоятельности проявляется творческий характер мышления.

Гибкость-умение быстро менять свои действия при изменении ситуации.Это так же готовность быстро переключаться с одного способа решения задач на другой,изменение тактики и стратегии мышления,находить новые не стандартные способы действий в меняющихся условиях.
Критичность мышления-это способность объективно оценивать положительные и негативные аспекты явления или факта.

Широта-способность охватить широкий круг вопросов,творческое мышление в различных отраслях знания и практики.

 

Мыслительные операции и Фазы мышления-их нужно уметь увидеть,в своей обычной деятельности и более четко уметь применять их на практике.Уровни и Качества мышления,это те аспекты на которые стоит обратить свое внимание,если мы хотим научиться по новому мыслить о самих себе,своей работе и жизни.

Абстрактное мышление: определение и примеры — видео и стенограмма урока

Разница между абстрактным и конкретным рассуждением

Абстрактное рассуждение часто сравнивают с конкретным рассуждением , которое включает рассмотрение вещей на поверхностном уровне и использование этой информации для решения проблем в их самом буквальном смысле. Конкретные мыслители рассуждают в терминах фактов, событий, объектов и конкретных примеров. Абстрактные мыслители отходят от этих конкретных вещей и рассуждают в терминах обобщений, идей и более глубоких значений.

Предположим, вас представили супружеской паре Мэйси и Джордж. Пример конкретных рассуждений — знание того, что Мэйси и Джордж женаты 12 лет. Абстрактное рассуждение было бы размышлением о концепции брака в целом.

Еще один пример конкретных рассуждений — знать, что Мэйси и Джордж поженились в католической церкви. Абстрактное рассуждение было бы размышлением о значении брака в католической церкви.

Примеры абстрактных рассуждений

Другие примеры абстрактных рассуждений включают:

  • Способность распознавать шаблоны в формах
  • Умение думать о концепции чисел в целом
  • Понимание значения 22-й поправки
  • Понимание взаимосвязи между расстоянием и временем
  • Формулирование теорий о природе человеческого существования

Краткое содержание урока

Люди, обладающие навыками абстрактного мышления , способны задавать вопросы, исследовать ситуацию с разных точек зрения, находить связи между концепциями и оценивать идеи для изучения мира.Это контрастирует с конкретным рассуждением , которое представляет собой способность анализировать и оценивать информацию в ее самом буквальном смысле. Пример абстрактного мышления — формулирование теорий о природе времени. Пример конкретного рассуждения — знать, что сейчас 22:30.

Результаты обучения

После просмотра этого урока вы должны уметь:

  • Описывать навыки абстрактного мышления
  • Различать абстрактные рассуждения и конкретные рассуждения
  • Определить примеры абстрактных рассуждений

[INTP] — В чем разница между абстрактным и логическим? Можно ли их совместить?

Логическая математика: 1 + 1 = 2
Абстракция этой математики: 1 может быть представлена ​​переменной «v», представляющей любое число.
Логическая абстракция: v + v = 2v

Абстракция извлекает самое фундаментальное понятие чего-либо (и это обычно позволяет связать другие вещи), даже если оно не существует в действительности. Например, круг можно рассматривать как абстрактный, и хотя настоящий «абстрактный» круг не имеет толщины, многие вещи являются «кругами», потому что они обладают одинаковыми общими свойствами.

Абстракция рассматривает свойства чего-либо, не принимая их как целое, из которого они произошли.Так, например, мы можем абстрагировать «домашнее задание» как документ, потому что это лист бумаги с текстом на нем (текст, сам, бытие и абстракция, по иронии судьбы).

Логика, с другой стороны, объединяет части и свойства реальности таким образом, который имеет смысл. Например, круги и квадраты полностью состоят из точек, поэтому мы можем рассматривать эту абстракцию как «форму» и говорить, что они оба являются формами. Однако нелогично говорить, что прямоугольники изогнуты просто потому, что некоторые формы, например круги, содержат кривые.

Но что касается вашей социальной проблемы:
Я полагаю, что человек, который считает себя «логическим» мыслителем, а не абстрактным, означает, что он пытается соединить части в единое целое, не пытаясь сначала их абстрагировать. Например, если вы спросите их, поместится ли собака в конкретную клетку, они могут иметь в виду только один вид собак и один вид клетки и логически попытаться выяснить, как эта собака может поместиться в клетку. С другой стороны, абстрактный мыслитель может сделать концепции «собаки» и / или «клетки» абстрактными и представить себе маленькую собаку, большую клетку, большую собаку и маленькую клетку, и заявить, что это возможно для некоторых. собак, чтобы поместиться в клетках, но не других собак, чтобы поместиться в другие клетки.

Проще говоря …
Логика похожа на игру с Лего.
Abstraction — это как представить, что ваши Lego похожи на двутавровые балки.

90 бесплатных вопросов с советами (2021)

Все представленные продукты и услуги выбраны WikiJob независимо. Когда вы совершаете покупку по ссылкам на этой странице, мы можем получать комиссию.

Вопросы абстрактного рассуждения считаются хорошим показателем общего интеллекта, поскольку они проверяют вашу способность воспринимать отношения, а затем вырабатывать любые совместные отношения, не требуя каких-либо знаний языка или математики.Вопросы требуют от вас распознавания закономерностей и сходства между формами и фигурами.

Как мера рассуждения, он не зависит от образования и культуры и может использоваться для обозначения интеллектуального потенциала.

Эти типы вопросов очень часто используются при отборе выпускников и руководителей и имеют особую ценность, когда работа связана с абстрактными идеями или концепциями. Это может относиться ко многим техническим работам.

Вы часто будете встречать их там, где вакансия, на которую вы претендуете, включает:

  • Высокая степень решения проблем
  • Работа со сложными данными или концепциями
  • Разработка стратегии или политики
  • Выполнение нестандартных задач, требующих инициативы

Тем не менее, поскольку они также позволяют лучше всего измерить ваши общие интеллектуальные способности, они очень широко используются.Обычно вы найдете несколько вопросов этого типа в зависимости от того, какую оценку вам дадут.

Практический тест абстрактного мышления 1

Пройдите практический тест абстрактного мышления

Чего ожидать от теста абстрактного мышления

Тесты на абстрактное мышление разработаны таким образом, чтобы усложнять задачу различать кандидатов и определять максимальную производительность, на которую они способны. Обычно у них жесткие временные рамки и вопросы, которые быстро усложняются.

Это означает, что вам нужно будет определить больше правил для решения проблем, и что сложность этих правил, вероятно, возрастет.

В абстрактных тестах на рассуждение используется диаграммы, символы или фигуры вместо слов или чисел. Они включают в себя определение основной логики шаблона и затем определение решения.

Вопросы, как правило, включают повторение или изменение следующего:

  • Форма
  • Размер
  • Цвет
  • Выкройка

В абстрактных вопросах с аргументацией используются символы, расположенные по прямой линии или в виде рисунка.Вам необходимо определить недостающий или следующий символ в последовательности.

Вы можете ожидать, что на эти вопросы у вас будет немного больше времени, чем на вопросы с вербальным и числовым обоснованием. Было бы типично ответить за 30 минут на ответы на 20 вопросов.

Попробуйте этот бесплатный практический тест, прежде чем читать:

Это практический тест абстрактного мышления, который имитирует настоящий тест на умение абстрактное мышление.

В тесте 10 вопросов, и вы должны стремиться пройти тест за 15 минут.

Все вопросы с множественным выбором.

Убедитесь, что вы прочитали вопрос полностью, прежде чем отвечать.

Ответы и пояснения на вопросы даются в конце теста.

Обоснование абстрактного: вопрос 1 из 10

Обоснование абстрактного: вопрос 2 из 10

Обоснование абстрактного: вопрос 3 из 10

Обоснование абстрактного: вопрос 4 из 10

Обоснование абстрактного: вопрос 5 из 10

Обоснование абстрактного: вопрос 6 из 10

Абстрактное мышление: вопрос 7 из 10

Абстрактное мышление: вопрос 8 из 10

Абстрактное мышление: вопрос 9 из 10

Абстрактное мышление: вопрос 10 из 10

Получите еще один практический тест абстрактного мышления

Типы вопросов с абстрактным рассуждением

Несмотря на то, что существует множество вариантов типов и форматов вопросов, есть некоторые общие концепции; с ними полезно ознакомиться.

1. Какая фигура завершает последовательность?

Этот тип вопросов требует, чтобы вы идентифицировали и понимали шаблон , лежащий в основе порядка, в котором представлены формы.

В этой серии черный прямоугольник чередуется сверху вниз, а количество белых квадратов увеличивается на единицу каждый раз.

Ответ: A

2. Какой рисунок завершает утверждение?

Этот тип вопросов касается отношений между данными : способность распознать, что связывает два блока вместе, а затем применить это правило к новой форме для решения проблемы.

Начнем со сравнения первых цифр. Каждый ли содержит одинаковое количество элементов? Если да, то содержат ли они одинаковые элементы? Если это так, значит, элементы каким-то образом были перемещены. Обычно это делается путем отражения или вращения.

Ответ: C

3. Какая фигура лишняя?

Этот тип вопросов требует, чтобы вы просмотрели некоторые данные, идентифицировали шаблон или правила, а затем отметили, какой квадрат не соответствует этим правилам .

Следите за относительным положением, количеством элементов, взаимосвязью между элементами, цветом, формой и ориентацией фигур: существует множество различных вариантов этих правил, и там могут быть некоторые посторонние данные, которые усложняют правила.

Для этого вопроса начните с рассмотрения элементов на каждом рисунке. В каждом ли номер одинаковый? Они одинаковы? Если да, то посмотрите конфигурацию.

Ответ: A

Пройдите тест на абстрактное мышление бесплатно

4.Определите недостающий квадрат

Этот тип вопросов требует, чтобы вы посмотрели на образцы в квадратах и, , поняли их взаимосвязь друг с другом , чтобы определить недостающий квадрат.

Начните с поиска взаимосвязи между цифрами в верхнем ряду. Если вы думаете, что нашли один, проверьте, сохраняется ли такая же связь для второй строки.

Ответ: C

5. Какая фигура завершает сетку?

Вам необходимо понять отношения между объектами в сетке , чтобы иметь возможность определить, какие объекты будут завершать сетку.

Проверьте, содержит ли каждая строка и столбец по одной и только по одной фигуре. Если нет, то разделите сетку по горизонтали и вертикали.

Это отражения? Если нет, связаны ли как-то отдельные строки?

А как насчет отдельных столбцов? Если нет, разделите сетку на четыре группы по четыре квадрата, чтобы увидеть, есть ли связь между этими группами.

Ответ: A

Практический тест на абстрактное мышление 2

Диаграммное мышление

Тесты на логическое мышление тесно связаны с тестами на абстрактное мышление, поэтому мы включили их сюда.Вопросы состоят из блок-схем, или диаграмм процессов, и измеряют вашу способность следовать серии логических инструкций или выводить правила, представленные с помощью символов.

Вопросы такого типа особенно подходят для работы в сфере информационных технологий, поскольку они точно отражают подход аналитиков и программистов к разработке программного обеспечения.

Даже если вы не претендуете на работу в сфере ИТ, стоит ознакомиться с вопросами этого типа, поскольку они могут появляться и появляются в более общих тестах абстрактного мышления, особенно когда работа требует анализа бизнес-процессов.

Типы вопросов с схематическим рассуждением

В первом примере на диаграмме показаны «входы» и «выходы», состоящие из коротких «цепочек» букв. «Операторы» или «процессы» показаны в небольших прямоугольниках.

Вам необходимо определить, какое влияние каждый из «операторов» или «процессов» оказывает на «ввод», чтобы произвести показанный «вывод».

Типы операций или процессов, которые вы можете ожидать, включают такие вещи, как:

  • Обмен буквами
  • Перемещение букв
  • Добавление букв
  • Удаление букв

На этой диаграмме черный ромб появляется дважды и каждый раз должен иметь одинаковый эффект.

В следующем примере операторы определены для вас.

Последовательность операций сверху вниз, и каждый оператор действует на фигуру, к которой он прикреплен. Используйте эту информацию, чтобы ответить на вопросы ниже.

Вам нужно работать сверху вниз, отмечая влияние каждого оператора на каждом этапе. Помните, что некоторые операции включают изменение взаимного расположения фигур.

Возможно, потребуется применить последующие операции к «новой» фигуре, а не к показанной.

Ответы: 1. D; 2. D; 3. С; 4. А; 5. D

Практический тест на логическое мышление 1

Практический тест на схематическое мышление 2

Абстрактное и схематическое мышление: советы и методы

Способность к абстрактному и схематическому мышлению тесно связана с общим интеллектом. Однако знакомство с типами вопросов, с которыми вы, вероятно, столкнетесь, и некоторыми стратегиями решения вопросов, безусловно, помогут вам добиться наилучших результатов.

Вот наши пять ключевых советов:

  1. Многие люди находят, что им нравится решать задачи абстрактного мышления. Доступен ряд книг и приложений-головоломок, с которыми вы можете практиковаться. Точно так же многие издатели тестов предоставляют практические тесты, к которым вы можете получить доступ, например JobTestPrep; это, безусловно, стоит сделать.

  2. Может быть полезно, чтобы разработал мысленный контрольный список стратегий для решения абстрактных логических вопросов, таких как список различных правил, которые управляют такими данными, как размер, форма, число и т. Д.Это дает вам отправную точку для обдумывания вопросов и может помочь вам методично работать над тестом.

  3. Смотрите по одному правилу за раз . В вопросе могут быть посторонние данные, которые могут вас запутать. Рассмотрение только одного аспекта вопроса за раз может помочь вам понять, что важно, а что нет.

  4. Управляйте своим временем . Иногда вы сталкиваетесь с вопросом, на который просто не видите ответа.В таких случаях не тратьте на это слишком много времени, двигайтесь дальше и, если у вас будет время в конце, вернитесь и проверьте его. Запишите все вопросы, к которым вы хотите вернуться. Тренируйте темп во время подготовки и, по возможности, придерживайтесь идеального темпа.

  5. Если вы пытаетесь найти закономерность, иногда в ответах содержится подсказки. . Найдите в возможных ответах какие-либо закономерности или темы, которые могут помочь вам определить, что является важным в вопросе.Например, если у вас есть последовательность фигур и все ответы — квадраты или треугольники, вы знаете, что следующая фигура в последовательности должна быть либо квадратом, либо треугольником, и это может помочь вам понять, почему.

Не забывайте внимательно слушать данные вам инструкции и внимательно читать вопросы. Иногда будет задан ряд похожих вопросов, но вопрос может измениться. Подчеркивание ключевых слов поможет вам сосредоточиться.

Пройдите практический тест на абстрактное мышление

Заключительные мысли

Тесты на абстрактное мышление широко используются в процессе отбора для оценки общего интеллекта кандидата и его способности разрабатывать новые концепции и абстрактные идеи.

Чтобы успешно пройти тесты на абстрактное мышление, вы должны уметь мыслить творчески и использовать нестандартное мышление для решения новых задач. Вам нужно увидеть отношения между формами и фигурами, определить правила и сходства и быстро применить их, чтобы найти ответ.

Как абстрактная математическая логика может помочь нам в реальной жизни ‹Literary Hub

Интернет — богатый и бесконечный источник ярких аргументов. Наблюдается тревожный постепенный рост числа неспециалистов, которые отвергают консенсус экспертов как заговор элиты, как в случае с климатологией и вакцинациями.Тот факт, что многие люди в чем-то согласны, не означает, что существует заговор. Многие согласны с тем, что Роджер Федерер выиграл Уимблдон в 2017 году. На самом деле, наверное, все, кто об этом знает, согласны. Это не означает, что это заговор: это означает, что существуют очень четкие правила, как выиграть Уимблдон, и многие, многие люди могут все посмотреть, как он это делает, и убедиться, что он действительно выиграл, согласно правилам.

Проблема науки и математики в этом отношении состоит в том, что правила труднее понять, поэтому неспециалистам труднее проверить соблюдение правил.Но это непонимание восходит к гораздо более базовому уровню: различному использованию слова «теория». В некоторых случаях «теория» — это просто предлагаемое объяснение чего-либо. В науке «теория» — это объяснение, которое тщательно проверяется в соответствии с четкими рамками и считается статистически верным с высокой вероятностью. (Точнее, считается статистически маловероятным, что результат произошел бы без правильного объяснения.)

В математике же «теория» — это набор результатов, истинность которых была доказана в соответствии с логикой.Нет никакой вероятности, никаких доказательств и никаких сомнений. Сомнения и вопросы возникают, когда мы спрашиваем, как эта теория моделирует окружающий нас мир, но результаты, которые верны внутри этой теории, должны логически быть правдой, и все математики могут согласиться с этим. Если они сомневаются в этом, они должны найти ошибку в доказательстве; просто кричать об этом неприемлемо.

Примечательная особенность математики состоит в том, что математики на удивление хорошо умеют договариваться о том, что является истиной, а что — нет.У нас есть открытые вопросы, на которые мы пока не знаем ответа, но математика 2000-летней давности по-прежнему считается верной и действительно преподается. Это отличается от науки, которая постоянно совершенствуется и обновляется. Я не уверен, что многие науки, полученные 2000 лет назад, до сих пор преподаются, кроме как на уроках истории естественных наук. Основная причина в том, что основа для демонстрации того, что что-то в математике верно, является логическим доказательством, и эта основа достаточно ясна, чтобы математики с ней согласились.Это не значит, что надвигается заговор.

«Некоторые разногласия по поводу аргументов в реальной жизни неизбежны, поскольку они проистекают из подлинной неопределенности в отношении мира. Но некоторых разногласий можно избежать, и мы можем избежать их, используя логику ».

Математика, конечно, не жизнь, и логические доказательства в реальной жизни не работают. Это потому, что в реальной жизни гораздо больше нюансов и неопределенностей, чем в математическом мире. Математический мир создан специально для устранения этой неопределенности, но мы не можем просто игнорировать этот аспект реальной жизни.Или, скорее, оно есть, игнорируем мы это или нет.

Таким образом, аргументы, подтверждающие что-то в реальной жизни, не так чисты, как математические доказательства, и это один из очевидных источников разногласий. Однако логические аргументы должны иметь много общего с доказательствами, даже если они не так однозначны. Некоторые разногласия по поводу аргументов в реальной жизни неизбежны, так как они проистекают из подлинной неопределенности относительно мира. Но некоторых разногласий можно избежать, и мы можем избежать их, используя логику.Это та часть, на которой мы собираемся сосредоточиться.

Математические доказательства обычно намного длиннее и сложнее, чем типичные аргументы в обычной жизни. Одна из проблем с аргументами в обычной жизни заключается в том, что они часто возникают довольно быстро, и нет времени для создания сложных аргументов. Даже если бы было время, продолжительность концентрации внимания стала заведомо короткой. Если вы не дойдете до сути одного важного откровения, скорее всего, многие люди не последуют за ним.

Напротив, для написания одного доказательства по математике может потребоваться 10 страниц и год для построения.Фактически, тот, над которым я работаю сейчас, планировался 11 лет, и в моих заметках он превысил 200 страниц. Как математик я очень хорошо умею планировать длинные и сложные доказательства.

Спор на 200 страниц почти наверняка слишком длинный для споров в повседневной жизни (хотя, вероятно, это не так уж необычно для судебных решений). Однако 280 знаков — это слишком мало. Решать проблемы в повседневной жизни непросто, и мы не должны ожидать, что сможем сделать это, используя аргументы из одного или двух предложений или просто используя интуицию.Я буду утверждать, что способность создавать, сообщать и следовать сложным логическим аргументам является важным навыком разумно рационального человека. Выполнение математических доказательств похоже на тренировку спортсменов на очень большой высоте, поэтому, когда они возвращаются к нормальному атмосферному давлению, все становится намного легче. Но вместо того, чтобы тренировать свое тело физически, мы тренируем свой разум логически, и это происходит в абстрактном мире.

*

Большинство реальных объектов не действуют согласно логике.Я не. Вы этого не сделаете. Мой компьютер определенно этого не делает. Если вы дадите ребенку файл cookie и еще один файл cookie, сколько файлов cookie у него будет? Возможно, нет, так как они их съедят.

Вот почему в математике мы забываем некоторые детали ситуации, чтобы попасть в место, где логика работает идеально. Поэтому вместо того, чтобы думать об одном файле cookie и другом файле cookie, мы думаем об одном и том же, забывая об аспекте «cookie». Тогда результат один плюс один применим к файлам cookie, если мы внимательно следим за тем, как файлы cookie действуют и не ведут себя в соответствии с логикой.

Логика — это процесс построения аргументов путем тщательного вывода. Мы можем пытаться делать это в обычной жизни с разными результатами, потому что в обычной жизни вещи логичны в разной степени. Я бы сказал, что ничто в нормальной жизни не является полностью логичным. Позже мы исследуем, как вещи не могут быть логичными: из-за эмоций, или из-за того, что нам нужно обработать слишком много данных, или из-за того, что слишком много данных отсутствует, или из-за элемента случайности.

Итак, чтобы изучать что-либо логически, мы должны забыть о досадных деталях, которые мешают вещам вести себя логически.В случае ребенка и файлов cookie, если им разрешено есть файлы cookie, ситуация не будет полностью логичной. Таким образом, мы налагаем условие, что им не разрешено есть файлы cookie, и в этом случае эти объекты могут быть не файлами cookie, а чем-либо несъедобным, если они разделены на отдельные фрагменты. Это просто «вещи», без каких-либо различимых характеристик. Вот что такое число 1: это идея четко различимой «вещи».

Этот шаг перенес нас из реального мира объектов в абстрактный мир идей.Что это нам дает?

*

Преимущество перехода в абстрактный мир состоит в том, что мы сейчас находимся в месте, где все ведет себя логически. Если я добавляю один и один при одинаковых условиях в абстрактном мире несколько раз, я всегда получу 2 (я могу изменить условия и вместо этого получить ответ как что-то другое, но тогда я всегда получу тот же ответ с этими новые условия тоже.)

Они говорят, что безумие повторяет одно и то же снова и снова и ожидает, что случится что-то другое.Я говорю, что логика (или, по крайней мере, ее часть) повторяет одно и то же снова и снова и ожидает, что произойдет то же самое. Что касается моего компьютера, то это и вызывает у меня некоторое безумие. Я делаю одно и то же каждый день, а потом периодически мой компьютер отказывается подключаться к Wi-Fi. Мой компьютер не логичен.

Мощным аспектом абстракции является то, что многие различные ситуации становятся одинаковыми, когда вы забываете некоторые детали. Я мог бы рассмотреть одно яблоко и другое яблоко, или одного медведя и другого медведя, или одного оперного певца и другого оперного певца, и все эти ситуации стали бы «1 на 1» в абстрактном мире.Как только мы обнаруживаем, что разные вещи в чем-то одинаковы, мы можем изучать их одновременно, что намного эффективнее. То есть мы можем изучить их общие части, а затем посмотреть, чем они отличаются по отдельности.

Мы можем обнаружить множество взаимосвязей между разными ситуациями, возможно, неожиданно. Например, я обнаружил связь между прелюдией Баха для фортепиано и тем, как мы заплетаем волосы. Выявление взаимосвязей между различными ситуациями помогает нам понять их с разных точек зрения, но также по сути является объединяющим действием.Мы можем подчеркнуть различия или сходства. Меня тянет находить сходство между вещами как в математике, так и в жизни. Математика — это основа для поиска сходства между различными частями науки, а моя область исследований, теория категорий, является основой для нахождения сходства между различными частями математики.

«Они говорят, что безумие повторяет одно и то же снова и снова и ожидает чего-то другого. Я говорю, что логика (или, по крайней мере, ее часть) повторяет одно и то же снова и снова и ожидает, что произойдет то же самое.”

Когда мы ищем сходства между вещами, нам часто приходится отбрасывать все больше и больше слоев внешних деталей, пока мы не дойдем до глубоких структур, удерживающих вещи вместе. Это похоже на тот факт, что мы, люди, внешне не очень похожи, но если мы полностью разделимся до наших скелетов, мы все будем в значительной степени одинаковыми. Избавление от внешних слоев или доведение аргумента до его сути может помочь нам понять, о чем мы думаем, и, в частности, может помочь нам понять, почему мы не согласны с другими людьми.

Особенно полезной чертой абстрактного мира является то, что все существует, как только вы об этом думаете. Если у вас есть идея и вы хотите поиграть с ней, вы можете сразу же поиграть с ней. Вам не нужно идти и покупать его (или умолять родителей купить его для вас, или умолять ваше агентство, присуждающее гранты, дать вам деньги на его покупку). Я хочу, чтобы мой обед существовал, как только я о нем думаю. Но мой ужин не является абстрактным, так что это не так. Если серьезно, это означает, что мы можем проводить мысленные эксперименты с нашими представлениями о мире, следуя логическим следствиям, чтобы увидеть, что произойдет, без необходимости проводить реальные и, возможно, непрактичные эксперименты, чтобы получить эти идеи.

*

Знакомство с абстрактным, логическим миром — это первый шаг к логическому мышлению. Конечно, в нормальной жизни нам, возможно, не нужно идти туда так явно, чтобы логически мыслить об окружающем мире, но процесс все еще присутствует, когда мы пытаемся найти логику в ситуации.

Недавно в лондонском метро была введена новая система, в которой на платформах были нанесены зеленые отметки, указывающие, где будут открываться двери. Пассажирам, ожидающим поезд, было приказано стоять за пределами зеленых зон, чтобы у тех, кто выходит из прибывающего поезда, было место для этого, вместо того, чтобы стоять лицом к лицу со стеной людей, пытающихся сесть.Цель заключалась в том, чтобы попытаться улучшить поток людей и уменьшить ужасные заторы, особенно в час пик.

Мне это показалось хорошей идеей, но некоторые жители пригородных поездов встретили ее с протестом. Очевидно, некоторые люди были расстроены тем, что эта маркировка испортила «конкурентное преимущество», которое они приобрели за годы поездок на работу и изучения дверей поездов, чтобы узнать, где они будут открываться. Они были расстроены тем, что случайные туристы, никогда раньше не бывавшие в Лондоне, теперь имеют столько же шансов сесть в поезд первыми.

Эта жалоба была встречена насмешками в ответ, но я подумал, что она дала интересное представление об одном из сложных аспектов аффирмационных действий: если мы оказываем особую помощь некоторым ранее обездоленным людям, то некоторые из людей, которые этого не понимают, помощь, вероятно, будет затруднена. Они считают несправедливым, что помощь получают только другие люди. Как и абсурдно возмущенные пассажиры, они вполне могут чувствовать раздражение из-за того, что они теряют свое «конкурентное преимущество», которое, по их мнению, они заработали, и думают, что все остальные тоже должны это заработать.

Это не чисто математический пример, но такой способ проведения аналогий составляет сущность математического мышления, когда мы сосредотачиваемся на важных особенностях ситуации, чтобы прояснить ее и установить связи с другими ситуациями. Фактически, математику в целом можно рассматривать как теорию аналогий. Поиск аналогий включает в себя удаление некоторых деталей, которые мы считаем несущественными для нынешних размышлений, и нахождение идей, которые лежат в самой сути дела. Это процесс абстракции, и именно так мы попадаем в абстрактный мир, где мы можем более легко и эффективно применять логику и исследовать логику в ситуации.

Чтобы хорошо выполнить эту абстракцию, нам нужно отделить вещи, которые присущи, от вещей, которые являются случайными. Логические объяснения исходят из глубоких и неизменных значений вещей, а не из последовательности событий или личных решений и вкусов. Неотъемлемость означает, что нам не нужно полагаться на контекст, чтобы что-то понять.

Мы увидим, что наше нормальное использование языка все время зависит от контекста, поскольку одни и те же слова могут означать разные вещи в разных контекстах, точно так же, как «вполне» может означать «очень» или «немного».«На нормальном языке люди судят о вещах не только по контексту, но и по отношению к своему собственному опыту; логические объяснения не должны зависеть от личного опыта.

Понимание того, что присуще ситуации, предполагает понимание того, почему что-то происходит, в самом фундаментальном смысле. Это очень похоже на вопрос «почему?», Повторяющийся, как у маленького ребенка, и неудовлетворенность немедленными и поверхностными ответами. Прежде всего, мы должны очень четко понимать, о чем мы говорим.Логические аргументы в основном сводятся к раскрытию того, что на самом деле означают вещи, и для того, чтобы сделать это, вы должны очень глубоко понять, что они означают. Часто это может показаться спором только из-за определений. Если вы попытаетесь спорить о том, существуете вы или нет, вы, вероятно, обнаружите, что спор быстро перерастет в спор о том, что значит «существовать». Обычно я прихожу к выводу, что с таким же успехом могу выбрать определение, которое означает, что я действительно существую, поскольку это более полезный ответ, чем высказывание «Нет, меня не существует».”

*

Я уже утверждал, что ничто в мире на самом деле не ведет себя согласно логике. Итак, как мы можем использовать логику в окружающем нас мире? Математические аргументы и обоснования недвусмысленны и надежны, но мы не можем использовать их, чтобы сделать совершенно однозначные выводы о мире людей. Мы можем попытаться использовать логику для построения аргументов о реальном мире, но независимо от того, насколько однозначно мы построим аргумент, если мы начнем с неоднозначных концепций, результат будет неоднозначным.Мы можем использовать чрезвычайно безопасные методы строительства, но если мы будем использовать кирпичи из полистирола, мы никогда не получим очень прочного здания.

Однако понимание математической логики помогает нам понять двусмысленность и разногласия. Это помогает нам понять, откуда исходит разногласие. Это помогает нам понять, исходит ли это от разного использования логики или из разных строительных блоков. Если два человека расходятся во мнениях по поводу медицинского обслуживания, они могут не соглашаться друг с другом по поводу того, следует ли всем пользоваться медицинским обслуживанием, или они могут расходиться во мнениях о том, как лучше всего обеспечить всех услугами здравоохранения.Это два совершенно разных типа несогласия.

«Понимание математической логики помогает нам понять двусмысленность и разногласия. Это помогает нам понять, откуда исходит разногласие ».

Если они не согласны с последним, они могут использовать другие критерии для оценки систем здравоохранения, например, стоимость для правительства, стоимость для отдельных лиц, охват или результаты. Возможно, в одной системе средний размер страховых взносов увеличился, но доступ к страхованию имеет больше людей.Или может случиться так, что они используют одни и те же критерии, но по-разному оценивают системы по тем же критериям: один способ оценить затраты для людей — это посмотреть на страховые взносы, а другой способ — посмотреть на сумму, которую они фактически должны выплатить. собственные карманы для любого обращения. И даже если сосредоточить внимание на страховых взносах, есть разные способы их оценки: средние значения, медианные значения или оценка затрат для беднейшей части общества.

Если два человека расходятся во мнениях о том, как решить проблему, они могут не соглашаться по поводу того, что считается решением, или они могут договариваться о том, что считается решением, но не соглашаться с тем, как его достичь.Я считаю, что понимание логики помогает нам понять, как разрешать разногласия, прежде всего помогая нам понять, в чем корень разногласий.

__________________________________

Из Искусство логики в нелогичном мире. Используется с разрешения Basic Books. Авторские права © 2018 Евгения Ченг.

мягкий вопрос — Абстрактные объекты в логике

См. Расширяемость.

Различие понятий восходит к «традиционной» логике: понимание или интенсификация vs. расширение .

Современная ссылка на различие — Logique de Port-Royal (1662 г.), один из самых читаемых трактатов 17 века:

В этих универсальных идеях очень важно правильно различать понимание и расширение.

Под пониманием идеи мы понимаем атрибуты, которые она включает и которые не может быть отозван, не разрушив идею, так как понимание идеи треугольника включает в себя протяженность, фигуру, три линии, три угла, равенство этих углов, суммированных до двух прямых углов и т. д.

Под расширением идеи мы понимаем субъекты, к которым эта идея применяется и которые также известны как низшие по отношению к общему термину, который по отношению к ним называется высшим; поскольку общая идея треугольника распространяется на все виды треугольников.

Это различие ясно также в работе Джорджа Буля «Математический анализ Логика (1847):

То, что делает логику возможной, — это существование в нашем сознании общих понятий — наших способность представлять себе класс и обозначать его отдельные члены общим именем.

Таким образом, концепции и их экстенсиональные аналоги, классы, являются самой основой логики.

Мы можем следовать этим идеям до Готтлоба Фреге, который четко сформулировал принцип понимания в своем двухтомном труде 1893/1903, Grundgesetze der Arithmetik ; этот принцип гласит, что при четко определенной концепции существует класс всех объектов, удовлетворяющих этой концепции.


Сказав это, мы называем «экстенсиональным» понятие или определение; Я не думаю, что правильно говорить, что объект — абстрактный или нет — является «экстенсиональным».

Согласно традиционному представлению, концепция из под номером имеет некоторые атрибуты, которые образуют ее сущность . Номера образуют расширение концепции номера.

Таким образом, на основании каких предположений вы утверждаете:

абстрактный объект по самой своей природе интенсионален …?

В истории логики и философии (конец 19 — начало 20 вв.) Мы находим различие между экстенсиональными контекстами: «стандартным» утверждением и интенсиональными контекстами.

Парадигматический пример интенсионального контекста: «Я считаю, что Вальтер Скотт является автором Уэверли». Условия истинности этого утверждения зависят от моих «знаний»: я, конечно, могу утверждать «тавтологию:« Я считаю, что Вальтер Скотт — это Вальтер Скотт », но если я не специалист по английской литературе, я не могу утверждать первое.

В современной логике «стандартный» подход является истинно-функциональным, то есть экстенсиональным . Но, конечно, сейчас предпринимаются попытки формализации интенсиональных дискурсов, от «Логики смысла и обозначения» Алонзо Чёрча (1951) до «Знания и веры» Яакко Хинтикки (1962).

Абстракция и четыре вида инвариантности (или: что такого логичного в подсчете) † | Философия математики

Файн и Антонелли вводят два обобщения перестановочной инвариантности — внутреннюю инвариантность и простую / двойную инвариантность соответственно. Обрисовав в общих чертах причины, по которым решение проблемы «Плохая компания» может потребовать, чтобы принципы абстракции были инвариантными в одном или обоих смыслах, я определяю наиболее детальный принцип абстракции, который инвариантен во всех смыслах.Принцип Юма — это наиболее детализированный принцип абстракции, инвариантный в обоих смыслах. В заключение я предполагаю, что это частично объясняет успех принципа Юма и сравнительное отсутствие успеха в реконструкции областей математики, отличных от арифметики, на основе неинвариантных принципов абстракции.

1. ПРИНЦИПЫ АБСТРАКЦИИ И ЛОГИЧНОСТЬ

Согласно неологицизму , мы можем представить описание эпистемологических и метафизических основ математики, указав принципы абстракции в форме:

(∀α) (∀β) [@ E (α) = @ E ( β) ↔E (α, β)],

где | $ \ alpha $ | и | $ \ beta $ | диапазон по объектам одного и того же типа (или диапазон по последовательностям объектов, которые попарно относятся к одному и тому же типу), и где | $ E (\ dots, \ dots) $ | является отношением эквивалентности для сущностей этого типа (или является «обобщенным» отношением эквивалентности для последовательностей сущностей соответствующего типа).Принцип абстракции призван служить неявным определением концепции, согласно которой объекты в изображении оператора абстракции | $ @ _ E (\ dots) $ | fall 1 . Здесь я ограничу внимание унарными концептуальными принципами абстракции — то есть принципами абстракции, чьи исходные универсальные кванторы охватывают индивидуальные концепции (или свойства, если вы предпочитаете):

AE: (∀X) (∀Y ) [@ E (X) = @ E (Y) ↔E (X, Y)].

Двумя наиболее известными и наиболее изученными принципами абстракции являются принцип Юма:

HP: (∀X) (∀Y) [# (X) = # (Y) ↔X≈Y],

где | $ X \ приблизительно Y $ | сокращает чисто логическую формулу второго порядка, выражающую, что | $ X $ | s равносильны | $ Y $ | s, и Основному закону V:

BLV: (∀X) (∀Y) [§ (X) = § (Y) ↔X≡Y],

где | $ X \ Equiv Y $ | сокращает чисто логическую формулу второго порядка, выражающую, что | $ X $ | s — это в точности | $ Y $ | s ( i.е. , | $ X $ | и | $ Y $ | являются соэкстенсиональными).

Принцип Юма является для неологика парадигмальным примером «хорошего» принципа абстракции. По словам неологолога, он дает неявное определение концептуального кардинального числа, сами кардинальные числа — это именно те объекты в диапазоне оператора кардинального числа | $ \ # (\ dots) $ | ⁠, и мы можем предусмотреть принцип Юма как неявное определение кардинального числа понятия и тем самым прийти к априорным знаниям истин арифметики Пеано второго порядка (которые следуют из принципа Юма плюс некоторые прямые явные определения в логике второго порядка через знаменитый результат Теорема Фреге ).

Основной закон V, с другой стороны, является парадигмальным примером «плохого» принципа абстракции. Версия этого принципа, которая применялась к функциям в целом, а не просто к концепциям, была предложена Фреге в первоначальной формулировке логицизма (без «нео»), и обе версии могут быть показаны как несовместимые с помощью хорошо известной конструкции. из-за Бертрана Рассела 2 . Таким образом, в отличие от принципа Юма, Основной закон V не может служить для введения концепции или учета наших знаний о диапазонах или наборах значений.

Неологичист желает распространить историю успеха принципа Юма на (большую часть или) всю математику, избегая при этом очевидных проблем, мешающих Основному закону V. плохо, так что мы можем гарантировать, что такие реконструкции основаны исключительно на хороших принципах абстракции — эту загадку стали называть проблемой плохой компании. Краткая история проблемы «Плохая компания» состоит из сложной серии предложений, контрпримеров, контрпредложений и т. Д., Детали которых нет необходимости подробно останавливаться здесь 3 .Вместо этого мы перейдем к концу, подводя итоги современного состояния дел. Во-первых, определение:

Определение 1.1.

Принцип абстракции | $ {\ sf A_E} $ | является сильно устойчивым тогда и только тогда, когда существует кардинал | $ \ kappa $ | такой, что для всех кардиналов | $ \ gamma $ | ⁠, | $ {\ sf A_E} $ | имеет модель, область (первого порядка) которой имеет мощность | $ \ gamma $ | тогда и только тогда, когда | $ \ gamma \ geq \ kappa $ | .

В [Cook, 2012] я утверждаю, что сильная стабильность необходима и достаточна для того, чтобы принцип абстракции был приемлемым, то есть находился на «хорошей» стороне разделения «Плохая компания».Фактически, я больше не верю, что сильная стабильность определяет точную грань между хорошими принципами абстракции и плохими. Вместо этого аргумент, приведенный в [2012], просто показывает, что сильная стабильность является необходимым условием приемлемости. Причины, по которым я изменил свое мнение, связаны с материалом, изложенным в этой статье.

Таким образом, проблема Плохой Компании остается открытой. Однако мы не будем прямо здесь браться за проблему плохой компании. Прямые попытки решить проблему — например, [Cook, 2012] — обычно формулируют критерий «добродетели», а затем делают вывод, что все принципы абстракции, удовлетворяющие этому критерию, имеют общие черты создания благ, демонстрируемые принципом Юма.Однако такой подход, как правило, дает мало понимания того, что представляют собой эти полезные свойства, за исключением удовлетворения самого критерия. Таким образом, здесь принята другая, более косвенная стратегия: вместо того, чтобы пытаться идентифицировать класс хороших принципов, а затем считывать критерии добродетели с точки зрения общих черт, присущих членам этого класса, мы вместо этого попытаемся идентифицировать некоторые из них. особых характеристик самого принципа Юма — то есть тех свойств, которые делают его особенно подходящим для использования в качестве неявного определения кардинального числа понятия — с надеждой, что по крайней мере некоторые из этих свойств окажутся полезными особенности принципов абстракции в целом.

Конечно, принцип Юма очень устойчив, как и все принципы абстракции, подробно рассмотренные ниже. Таким образом, хотя мы принимаем этот второй, косвенный подход к проблеме плохой компании, отчасти обнадеживает то, что все принципы абстракции, которые окажутся важными в нижеследующем обсуждении, соответствуют этому ранее определенному критерию качества.

Имея это в виду, давайте вернемся к сравнению и сопоставлению принципа Юма (хорошее) и Основного закона V (плохое).Конечно, можно было бы подозревать, что причины того, что эти два конкретных принципа являются парадигмальными примерами неологицистской добра и зла, соответственно, довольно исторически случайны — в конце концов, это два принципа, которым сам Фреге уделяет наибольшее внимание в книге Die Grundlagen и Grundgesetze . Однако оказывается, что их центральное положение в этих дебатах связано не только с историей. Вместо этого мы можем объяснить центральную роль этих двух принципов в обсуждении и развитии логицизма (как исходного, так и «нео») в более формальных терминах — терминах, которые помогают нам объяснить потрясающий успех принципа Юма как неявного определение кардинального числа и несостоятельность не только Основного закона V, но и последовательных, ограниченных вариантов Основного закона V, как попыток сформулировать аналогичное неологизистское определение множества понятий.

Мы можем начать работу по достижению этих результатов, сделав следующее, несколько заурядное наблюдение: и принцип Юма, и основной закон V, и фактически подавляющее большинство других принципов абстракции, обсуждаемых в литературе по неологизму, являются чисто логическими. принципы абстракции — то есть отношения эквивалентности, мобилизованные в правой части этих принципов абстракции, могут быть выражены в чисто логическом словаре (при условии, что кто-то принимает язык стандартной логики второго порядка — в частности, квантификацию второго порядка по сравнению с первым -уровневые функции — как логические).

В чисто логических принципах абстракции есть что-то особенное: такие принципы вводят объекты в диапазон их операторов абстракции, предоставляя для этих объектов условия идентичности — условия идентичности, которые могут быть выражены в чисто логических терминах. Например, условия тождества кардинальных чисел задаются принципом Юма в терминах чисто логического отношения равнодоступности. Если нетривиальные условия идентичности для определенного вида объектов могут быть выражены в чисто логических терминах, то это предполагает, что в некотором смысле эти объекты сами являются логическими объектами 4 .И если абстракции, порожденные чисто логическими принципами абстракции, являются подлинно логическими объектами, то это будет хорошим способом подтверждения «логицизма» в неологицизме, несмотря на тот факт, что (как признает большинство неологистов) принцип Юма таков. нет закона логики 5 .

Идея о том, что абстрактные объекты, к которым осуществляется доступ через успешное определение (чисто логических) принципов абстракции, являются логическими объектами в некотором значительном смысле, является провокационной и заслуживает дальнейшего изучения и развития.Однако я не буду пытаться проводить здесь такое исследование. Вместо этого для настоящих целей достаточно отметить, что идея о том, что принципы чисто логической абстракции вводят конкретный и особенно интересный вид объекта (независимо от того, является ли этот вид логическим типом или нет), предполагает, что стоит изучить класс таких принципов в деталях с целью определения, какими особыми свойствами обладают такие принципы и чем они могут отличаться от других принципов абстракции.Задача оставшейся части этого эссе — провести такую ​​проверку.

Перед тем как это сделать, нам нужно точно определить, какой именно класс принципов нас интересует. Короче говоря, нам нужно определить, какие принципы являются логическими, и для этого необходимо сначала определить, какие операторы, связки, кванторы, и прочую лексику следует считать логической. Конечно, существует множество различных объяснений того, как именно определяется линия, отделяющая логическое от нелогического, и где именно эта линия находится в результате.Например, Шер [2008] утверждает, что логические операторы — это операторы, инвариантные к перестановкам, в то время как Даммит [1993] предполагает, что логические понятия — это те, которые могут быть полностью объяснены в терминах консервативных, гармоничных правил введения и исключения. Кроме того, не все теоретики согласны с тем, что существует уникальная, четкая линия, отделяющая логическое от нелогичного: Куайн [1986] утверждает, что отношение тождества не логично (или, по крайней мере, не должно рассматриваться как логическое). такие) на грубо прагматических основаниях, в то время как Варци [2002] предполагает, что сам Тарский был своего рода плюралистом в отношении границы между логическими и нелогическими операторами.

Вместо того, чтобы участвовать в этой дискуссии (хотя она может быть полезной в качестве философской дискуссии), я вместо этого собираюсь уйти от нее, немного сменив тему. Другими словами, это эссе не представляет собой исследование чисто логических принципов абстракции, а вместо этого исследует концептуально (и, возможно, экстенсивно) особый вид принципа абстракции: принципы инвариантной абстракции. Подобно тому, как принципы логической абстракции — это те принципы абстракции, отношения эквивалентности которых могут быть выражены в чисто логических терминах, принципы инвариантной абстракции — это те принципы, отношения эквивалентности которых инвариантны (в одном или нескольких технических смыслах, которые будут представлены ниже).

У этого шага есть ряд оправданий. Первое, о чем уже упоминалось, заключается в том, что рассматриваемый ход заменяет возможно неточное и определенно спорное понятие (логичность) точным понятием (инвариантность), которое больше поддается формальному манипулированию и математическому доказательству. Короче говоря, такой подход позволяет нам делать больше. Во-вторых, это подход, использованный в ряде более ранних исследований принципов абстракции, включая [Fine, 2002] и [Antonelli, 2010], и в результате мы можем (и очень часто это делаем) связать существующие результаты с существующими более ранними работами.В-третьих, даже если перестановочная инвариантность и логичность не являются сосуществующими, крайне правдоподобно, что все логические понятия инвариантны к перестановкам — это обратное утверждение, что все инвариантные понятия логичны, что обычно оспаривается в литературе, направленной против перестановочной инвариантности. . Таким образом, читатель, который считает инвариантность перестановок неинтересной, но интересной с точки зрения логики, все же может использовать многие из результатов, доказанных ниже, отметив, что, если они придерживаются всех инвариантных принципов абстракции, то они (вероятно) придерживаются всех чисто логических.Наконец, даже если, вопреки только что сделанным предположениям, не окажется вообще никаких глубоких связей между логичностью и инвариантностью перестановок, классы принципов абстракции, которые инвариантны в различных смыслах, представленных ниже, имеют большое значение. Дело, представляющее самостоятельный интерес, освещающее ряд технических явлений, которые обещают быть чрезвычайно полезными для понимания математики принципов абстракции 6 . В частности, усиление инвариантности перестановок, исследуемое в следующих разделах, дает нам ингредиенты для нового описания того, что именно такого особенного в Принципе Юма — то есть, какие особенности отличают его не только от непоследовательного Основного закона V, но и также из большинства последовательных принципов абстракции, которые были предложены и изучены в сохранившейся литературе по неологицизму.

Прежде чем двигаться дальше, сделаем методическую записку. В этом эссе я работаю в рамках стандартной (или полной) семантики для логики второго порядка, где область второго порядка (диапазон концептуальных кванторов второго порядка) является или, по крайней мере, изоморфна набору степеней первого порядка. заказать домен. Многие результаты (в частности, в [Antonelli, 2010]) обобщаются на нестандартный случай (, т.е. , модели Хенкина). Однако для упрощения обсуждения детали этих более общих результатов оставлены читателю.

2. ОТНОШЕНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ И ИНВАРИАНТНОСТЬ

Как показано в трактовке [Sher, 2008], сформулировать понятие перестановочной инвариантности, применимое ко всем различным типам выражений, встречающихся в достаточно выразительном формальном языке, — непростая задача. К счастью для нас, задача упрощается тем, что мы можем ограничить наше внимание отношениями эквивалентности в унарных концепциях. Во-первых, немного обозначений:

Определение 2.1. Дан набор | $ \ Delta $ | ⁠, функция | $ f: \ Delta \ rightarrow \ Delta $ | ⁠ и подмножество | $ X \ substeq \ Delta $ | :

f [X] = {x: (∃y) (y∈X∧f (y) = x)}.

Короче, | $ f [X] $ | является образом | $ X $ | под | $ f $ | ⁠. Простейший и наиболее понятный смысл перестановочной инвариантности может быть определен для конкретного случая, представляющего интерес здесь — отношений эквивалентности для понятий в (или, что эквивалентно, по крайней мере для технических целей, подмножеств) области — следующим образом:

Определение 2 .2.

[Антонелли, 2010; Fine, 2002] Отношение эквивалентности | $ E (X, Y) $ | является слабо инвариантным тогда и только тогда, когда для любой модели | $ \ mathcal {M} = \ langle \ Delta, I \ rangle $ | и перестановка | $ \ pi $ | | $ \ Delta $ | ⁠, | $ E (X, Y) $ | тогда и только тогда, когда | $ E (\ pi [X], \ pi [Y]) $ | .

Это просто частный случай понятия, которое часто рассматривается как расширенное или тесно связанное с логикой или тесно связанное с ним, хотя, как отмечалось в предыдущем разделе, нам не нужно делать это предположение, чтобы получить следующие результаты. имеют философское и математическое значение.

Есть несколько интересных способов, которыми мы можем усилить это понятие инвариантности. Первые два (которые оказались эквивалентными) принадлежат Альдо Антонелли в «Понятиях инвариантности принципов абстракции»:

Определение 2.3.

[Антонелли, 2010] Отношение эквивалентности | $ E (X, Y) $ | является дважды инвариантным тогда и только тогда, когда для любой модели | $ \ mathcal {M} = \ langle \ Delta, I \ rangle $ | и перестановки | $ \ pi_1 $ | и | $ \ pi_2 $ | | $ \ Delta $ | ⁠, | $ E (X, Y) $ | тогда и только тогда, когда | $ E (\ pi_1 [X], \ pi_2 [Y]) $ | .

Определение 2.4.

[Антонелли, 2010] Отношение эквивалентности | $ E (X, Y) $ | просто инвариантен тогда и только тогда, когда для любой модели | $ \ mathcal {M} = \ langle \ Delta, I \ rangle $ | и перестановка | $ \ pi $ | | $ \ Delta $ | ⁠, | $ E (X, \ pi [X]) $ | .

Двойная (или одинарная) инвариантность — естественное и, следовательно, интересное по своей сути обобщение инвариантности simpliciter . Но он также фиксирует довольно правдоподобное ограничение, которое может быть наложено на приемлемые принципы абстракции 7 .Если принципы абстракции предназначены для неявных определений математических понятий, тогда одна естественная мысль состоит в том, что они должны полностью определять структуру абстрактных объектов, подпадающих под это понятие. Шон Уолш и Шон Эбелс-Дугган в своей работе «Принципы относительной категоричности и абстракции» формализуют одно понимание этого ограничения, которое они называют относительной категоричностью , следующим образом. 2_E $ | являются различными операторами абстракции.2_E $ | рефераты ([Уолш и Эбелс-Дугган, 2015, стр. 572–575]) 8 .

Первый из двух основных результатов в [Walsh and Ebels-Duggan, 2015] является доказательством того, что сюръективно относительно категоричные принципы абстракции являются в точности принципами абстракции, основанными на дважды инвариантных отношениях эквивалентности [Walsh and Ebels-Duggan, 2015, pp. 574 , 584-586]. Таким образом, двойная инвариантность тесно связана с (одним из способов развития) идеей о том, что принципы абстракции должны полностью определять структуру вводимых ими абстракций.

Кит Файн [2002] также ввел более сильную форму инвариантности — внутреннюю инвариантность — в своей работе Пределы абстракции :

Определение 2.5.

Отношение эквивалентности | $ E (X, Y) $ | является внутренне инвариантным тогда и только тогда, когда для любой модели | $ \ mathcal {M} = \ langle \ Delta, I \ rangle $ | и однозначное отображение | $ f: X \ cup Y \ rightarrow \ Delta $ | ⁠, | $ E (X, Y) $ | тогда и только тогда, когда | $ E (f [X], f [Y]) $ | .

Внутренняя инвариантность, как и двойная инвариантность, является естественным обобщением инвариантности simpliciter с формальной точки зрения, но, как и двойная инвариантность, она кодифицирует естественную мысль, которая могла бы возникнуть в отношении того, что требуется для того, чтобы принцип абстракции функционировал как законное неявное определение математической концепции.Если отношение эквивалентности внутренне инвариантно, то для данной модели | $ \ mathcal {M} $ | с доменом | $ \ Delta _ {\ mathcal {M}} $ | и | $ X, Y \ substeq \ Delta _ {\ mathcal {M}} $ | ⁠, если | $ E (X, Y) $ | выполняется (или нет) в | $ \ mathcal {M} $ | то | $ E (X, Y) $ | выполняется в любой модели | $ \ mathcal {M} ‘$ | с доменом | $ \ Delta _ {\ mathcal {M} ‘} $ | пока | $ X, Y \ substeq \ Delta _ {\ mathcal {M} ‘} $ | ⁠. Проще говоря, внутренняя инвариантность отношения эквивалентности | $ E (X, Y) $ | означает, что нам не нужно смотреть ни на какие объекты, кроме тех, которые попадают в | $ X \ cup Y $ | при определении того, | $ E (X, Y) $ | выполняется, и, следовательно, при определении того, | $ X $ | и | $ Y $ | получить ту же аннотацию согласно соответствующему принципу абстракции | $ {\ sf A_E} $ | ⁠.Короче говоря, требование, чтобы законные принципы абстракции основывались на отношениях эквивалентности, которые являются внутренне инвариантными, равносильно требованию, чтобы определение посредством абстракции (принципа) присваивало абстракции концепциям и устанавливало тождества между абстрактами концепций, основываясь исключительно на « внутренних » характеристиках. этих концепций (, т. е. , основанных исключительно на объектах, подпадающих под эти концепции, независимо от характеристик других объектов или совокупностей объектов, выходящих за рамки самих расширений соответствующих концепций).

Мы получаем следующие два дополнительных понятия (которые также оказываются эквивалентными), комбинируя простую или двойную инвариантность и внутреннюю инвариантность 9 :

Определение 2.6.

Отношение эквивалентности | $ E (X, Y) $ | является дважды внутренне инвариантным тогда и только тогда, когда для любой модели | $ \ mathcal {M} = \ langle \ Delta, I \ rangle $ | и однозначные отображения | $ f_1: X \ rightarrow \ Delta $ | и | $ f_2: X \ rightarrow \ Delta $ | ⁠, | $ E (X, Y) $ | тогда и только тогда, когда | $ E (f_1 [X], f_2 [Y]) $ |

Определение 2.7.

Отношение эквивалентности | $ E (X, Y) $ | является просто внутренне инвариантным тогда и только тогда, когда для любой модели | $ \ mathcal {M} = \ langle \ Delta, I \ rangle $ | и однозначное отображение | $ f: X \ rightarrow \ Delta $ | ⁠, | $ E (X, f [X]) $ | .

Стоит отметить, что этому очень сильному виду инвариантности также может быть придана философская мотивация, поскольку Уолш и Эбелс-Дугган [2015, стр. 575, 587] доказывают, что относительно категориальные принципы абстракции являются именно принципами абстракции, основанными на дважды внутренне инвариантные отношения эквивалентности.Таким образом, двойная внутренняя инвариантность тесно связана с (другим, более сильным способом развития) идеей о том, что принципы абстракции, понимаемые как неявные определения, должны полностью определять структуру вводимых ими абстракций.

Таким образом, теперь у нас есть шесть различных понятий инвариантности, которые могут иметь место для конкретного отношения эквивалентности понятий: слабое, простое, двойное, внутреннее, просто внутреннее и дважды внутреннее. Следующий результат, сделанный Антонелли [2010], сокращает это число до пяти 10 :

Предложение 2.8.

Отношение эквивалентности | $ E (X, Y) $ | дважды инвариантен тогда и только тогда, когда он просто инвариантен .

Мы можем сократить количество различных понятий инвариантности до четырех с помощью следующего:

Предложение 2.9.

Отношение эквивалентности | $ E (X, Y) $ | дважды внутренне инвариантен тогда и только тогда, когда он просто внутренне инвариантен .

В оставшейся части этого эссе все результаты (и связанные с ними понятия) будут сформулированы в терминах «двойных», а не «одинарных».Однако в доказательствах эти два понятия будут свободно меняться местами по мере необходимости.

Как мы увидим, эти четыре понятия инвариантности различны. Прежде чем сделать это, стоит отметить следующие следствия:

Предложение 2.10.

[Антонелли, 2010] Если отношение эквивалентности | $ E (X, Y) $ | дважды инвариантно, то слабо инвариантно .

Предложение 2.11.

[Fine, 2002] Если отношение эквивалентности | $ E (X, Y) $ | внутренне инвариантно, то слабо инвариантно .

Предложение 2.12.

Если отношение эквивалентности | $ E (X, Y) $ | дважды внутренне инвариантно, то внутренне инвариантно .

Предложение 2.13.

Если отношение эквивалентности | $ E (X, Y) $ | дважды внутренне инвариантно, то дважды инвариантно .

Эти результаты суммированы на Рисунке 1, который обеспечивает полную спецификацию импликаций, которые имеют место между нашими четырьмя понятиями инвариантности, хотя мы не будем демонстрировать релевантные импликации до следующих разделов этого эссе.

Рис.1.

Четыре понятия инвариантности

Рис.1.

Четыре понятия инвариантности

Как и следовало ожидать, двойная внутренняя инвариантность на самом деле есть не что иное, как соединение двойной (эквивалентно простой) инвариантности и внутренней инвариантности:

Теорема 2.14.

Если | $ E (X, Y) $ | является как дважды инвариантным, так и внутренне инвариантным, то он дважды внутренне инвариантным .

Хотя эти различные понятия инвариантности применимы, строго говоря, только к отношениям эквивалентности, мы иногда будем говорить, что принцип абстракции инвариантен (в одном из этих четырех смыслов), когда имеется в виду, строго говоря, что отношение эквивалентности на правая часть инвариантна.

Большая часть оставшейся части этой статьи будет посвящена характеристике именно тех принципов абстракции, которые инвариантны в каждом из этих четырех различных способов. Одна из основных задач, необходимых для такой характеристики, уже упоминалась: нам нужно показать, что каждое из этих понятий инвариантности на самом деле отличается (и, следовательно, что диаграмма, показывающая соответствующие импликации и не импликации, верна), предоставив примеры отношений эквивалентности (и соответствующих принципов абстракции), которые являются слабо, но не дважды инвариантными, и отношений эквивалентности, которые являются дважды, но не дважды внутренне инвариантными, и т. д.Но мы можем сделать больше. В частности, мы можем выбрать такие примеры, чтобы они не только подпадали под одно, но не другое понятие инвариантности, но, кроме того, являлись наиболее детализированным отношением эквивалентности для этого. Как мы увидим, эта стратегия имеет (по крайней мере) два очевидных преимущества. Во-первых, он демонстрирует, что независимо от того, является ли принцип абстракции инвариантным в одном из четырех значений, определенных выше, тесно связано с тем, насколько тонко принцип абстракции «разделяет» область понятий второго порядка ( i.е. , тесно связано с тем, сколько существует классов эквивалентности в соответствии с этим принципом абстракции и насколько велики эти классы эквивалентности). Во-вторых, что более важно, поступление таким образом позволит нам извлечь некоторые интересные уроки относительно роли, которую принцип Юма сыграл в развитии неологицизма.

3. АБСТРАКЦИЯ МАКСИМАЛЬНО Мелкозернистая

Нам нужны еще две части оборудования. Первое — это третье отношение эквивалентности, которое будет использоваться вместе с коэкстенсиональностью (⁠ | $ \ Equiv $ | ⁠) и равнодействием (⁠ | $ \ приблизительно $ | ⁠) при построении рассматриваемых принципов абстракции — бикардиная равнодоступность :

Определение 3.1.

| $ X \ приблизительно _ {\ sf BC} Y = _ {df} X \ приблизительно Y \ wedge \ neg X \ приблизительно \ neg Y. $ |

Интуитивно концепция | $ X $ | бикардинально равнозначно другому понятию | $ Y $ | тогда и только тогда, когда | $ X $ | и | $ Y $ | равны, и их дополнения равны. Обратите внимание, что бикардинальное равное число, в отличие от равноденствия , симплицитер , относится к нижележащему домену: положительные целые числа и положительные четные целые числа бикардинально равноправны, если нижележащий домен представляет собой (положительные и отрицательные) целые числа, но не, если нижележащий домен является нижележащим доменом. положительные целые числа.E {\ text {Big}}} (X). $ |

| $ \ Delta $ | вот базовый домен. Таким образом, для области | $ \ Delta $ | и концепт | $ X \ substeq \ Delta $ | ⁠, | $ X $ | экспоненциально мала, если мощность набора понятий из | $ \ Delta $ | не более | $ X $ | (по мощности) не больше, чем мощность | $ \ Delta $ | — то есть, если в | $ \ Delta $ | больше нет понятий | размером меньше или равным | $ X $ | чем есть члены | $ \ Delta $ | ⁠. Стоит отметить, что в следующих результатах мы будем использовать это различие, чтобы разделить диапазон понятий на три категории : те, которые экспоненциально малы, те, чьи дополнения экспоненциально малы ( i.е. , те, которые экспоненциально малы ), и те, которые одновременно экспоненциально большие и экспоненциально одинаковые.

Не каждый слабо инвариантный принцип абстракции выполним, и фактически не каждый внутренне инвариантный принцип абстракции выполним, поскольку Основной закон V внутренне (следовательно, слабо) инвариантен. Таким образом, нам нужно ограничить наше внимание выполнимыми принципами абстракции. Фактически, как здесь, так и при обсуждении внутренней инвариантности ниже оказывается наиболее полезным ограничить наше внимание принципами абстракции, которые имеют по крайней мере одну бесконечную модель, то есть по крайней мере одну модель, область первого порядка которой содержит не менее минимум | $ \ aleph_0 $ | объекты 11 .

Имея это в виду, мы можем охарактеризовать наиболее детализированный выполнимый принцип абстракции, инвариантный во всех смыслах, в терминах которого {\ text {BC}} $ | применяется к экспоненциально малым, экспоненциально совпадающим и экспоненциально большим и экспоненциально совпадающим понятиям. Таблица 1 кодифицирует отношения эквивалентности, соответствующие каждому из наших четырех понятий инвариантности.

Таблица 1

Понятия инвариантности и соответствующие отношения эквивалентности

.E \ text {Sm} (\ neg X) $ | | $ \ times $ |

Таким образом, наиболее детально выполнимый слабоинвариантный принцип абстракции основан на следующем отношении эквивалентности понятий — базовом отношении эквивалентности :

Определение 3.3.

b (X, Y) = df (ESm (X) ∧ ESm (Y) ∧X≡Y) ∨ (ESm (¬X) ∧ ESm (¬Y) ∧X≡Y) ∨ (EBig (X) ∧ EBig (Y) ∧ EBig (¬X) ∧ EBig (¬Y) ∧X≈BCY)

Проще говоря: | $ \ mathfrak {b} (X, Y) $ | ведет себя как | $ \ Equiv $ | на экспоненциально малых концепциях и на концепциях, дополнения которых экспоненциально малы и ведут себя как | $ \ приблизительно _ {\ text {BC}} $ | иначе.Теперь мы получаем принцип базальной абстракции Кита Файна:

BA: (∀X) (∀Y) [§b (X) = §b (Y) ↔b (X, Y)].

Принцип базальной абстракции не только выполним, но сильно стабилен . Кроме того, отношение базисной эквивалентности слабо инвариантно:

Предложение 3.4.

[Fine, 2002] | $ \ mathfrak {b} (X, Y) $ | слабо инвариантен .

Далее, принцип базальной абстракции является наиболее детализированным слабоинвариантным принципом абстракции с бесконечной моделью:

Предложение 3.5. [Fine, 2002] Для любого принципа абстракции | $ {\ sf A_E} $ | ⁠, где | $ E (X, Y) $ | слабо инвариантно, если | $ \ mathcal {M} = \ langle \ Delta, I \ rangle $ | является бесконечной моделью | $ {\ sf A_E} $ | ⁠, то :

M⊨ (∀X) (∀Y) [b (X, Y) → E (X, Y)].

Другими словами, любой слабоинвариантный принцип абстракции, имеющий бесконечную модель, идентифицирует абстракции, связанные с любыми двумя концепциями | $ X $ | и | $ Y $ | если принцип базальной абстракции идентифицирует абстракции | $ X $ | и | $ Y $ | в этом домене.

Наконец, мы выписываем два простых векселя из § 2. Во-первых, хотя все внутренне инвариантные отношения эквивалентности слабо инвариантны, обратное неверно:

Теорема 3.6.

| $ \ mathfrak {b} (X, Y) $ | не является внутренне инвариантным .

Аналогично, хотя все дважды инвариантные отношения эквивалентности слабо инвариантны, обратное также неверно:

Теорема 3.7.

| $ \ mathfrak {b} (X, Y) $ | не является дважды инвариантным .

Далее идет двойная инвариантность.Наиболее детализированный принцип дважды инвариантной абстракции — это принцип Бикардинала Юма:

BH: (∀X) (∀Y) [§BC (X) = §BC (Y) ↔X≈BCY].

Бикардинал Юм применяет бикардинальное равнодоступность ко всем трем классам понятий — экспоненциально малому, экспоненциально со-малому, а также экспоненциально большому и равному большому. Бикардинал Юм выполним и сильно устойчив. Что еще более важно для наших целей, бикардинальное равноправие дважды инвариантно:

Предложение 3.8.

| $ X \ приблизительно _ {\ sf BC} Y $ | дважды инвариантен .

Вдобавок, бикардинал Юма является наиболее детализированным дважды инвариантным принципом абстракции:

Предложение 3.9. Для любого дваждыинвариантного отношения эквивалентности | $ E (X, Y) $ | ⁠ и любой модели | $ \ mathcal {M} = \ langle \ Delta, I \ rangle $ | :

M⊨ (∀X) (∀Y) [X≈BCY → E (X, Y)].

Теперь мы получаем результат «мелкозернистости» с помощью простого следствия:

Следствие 3.10. Для любого принципа абстракции | $ {\ sf A_E} $ | ⁠, где | $ E (X, Y) $ | дважды инвариантно, если | $ \ mathcal {M} = \ langle \ Delta, I \ rangle $ | является моделью (не обязательно бесконечной!) | $ {\ sf A_E} $ | ⁠, тогда :

M⊨ (∀X) (∀Y) [X≈BCY → E (X, Y)].

Обратите внимание, что следствие 3.10, в отличие от предложения 3.5 (и в отличие от предложения 3.15 ниже), не требует, чтобы рассматриваемая модель была бесконечной.

Теперь выпишем дополнительные векселя из § 2. Прежде всего отметим, что не все дважды инвариантные отношения эквивалентности внутренне инвариантны:

Теорема 3.11.

| $ X \ приблизительно _ {\ sf BC} Y $ | не является внутренне инвариантным .

Тот факт, что не все дважды инвариантные отношения эквивалентности дважды внутренне инвариантны, является непосредственным следствием:

Следствие 3.12.

| $ X \ приблизительно _ {\ sf BC} Y $ | не является двояко внутренне инвариантным .

Чтобы охарактеризовать внутренне инвариантные принципы абстракции, нам потребуется следующее супербазальное отношение эквивалентности :

Определение 3.13.

сбн (X, Y) = df (ESm (X) ∧ ESm (Y) ∧X≡Y) ∨ (EBig (X) ∧ EBig (Y) ∧X≈Y)).

Проще говоря: | $ \ mathfrak {sb} (X, Y) $ | ведет себя как | $ \ Equiv $ | на экспоненциально малых концепциях и ведет себя как | $ \ приблизительно $ | как на экспоненциально со-малых концепциях, так и на экспоненциально больших и со-больших концепциях.

Учитывая отношение супербазальной эквивалентности, мы получаем принцип супербазальной абстракции Кита Файна:

SBA: (∀X) (∀Y) [§sb (X) = §sb (Y) ↔sb (X, Y)].

Принцип супербазальной абстракции сильно устойчив, и его отношение эквивалентности также внутренне инвариантно:

Предложение 3.14.

[Fine, 2002] | $ \ mathfrak {sb} (X, Y) $ | внутренне инвариантен .

Принцип супербазальной абстракции также является наиболее детализированным внутренне инвариантным принципом абстракции (с бесконечной моделью):

Предложение 3.15. [Fine, 2002] Для любого принципа абстракции | $ {\ sf A_E} $ | ⁠, где | $ E (X, Y) $ | внутренне инвариантно, если | $ \ mathcal {M} = \ langle \ Delta, I \ rangle $ | является бесконечной моделью | $ {\ sf A_E} $ | ⁠, то :

M⊨ (∀X) (∀Y) [sb (X, Y) → E (X, Y)].

Наконец, мы выписываем последние оставшиеся векселя из § 2. Во-первых, не все внутренне инвариантные отношения эквивалентности дважды инвариантны:

Теорема 3.16.

| $ \ mathfrak {sb} (X, Y) $ | не является дважды инвариантным .E {\ text {Big}}} (Y) \ wedge X \ приблизительно Y). $ |

Проще говоря: | $ \ mathfrak {ub} (X, Y) $ | ведет себя как | $ \ приблизительно _ {\ text {BC}} $ | на экспоненциально малых концепциях и ведет себя как | $ \ приблизительно $ | на экспоненциально со-малых концепциях и на экспоненциально больших и со-больших концепциях.

Учитывая отношение ультра-базальной эквивалентности, теперь мы получаем Принцип ультра-базальной абстракции:

UBA: (∀X) (∀Y) [§ub (X) = §ub (Y) ↔ub (X, Y)] .

Ультрабазальный принцип абстракции сильно устойчив, и его отношение эквивалентности дважды внутренне инвариантно:

Теорема 3.19.

| $ \ mathfrak {ub} (X, Y) $ | дважды внутренне инвариантно .

Далее следует тот факт, что ультра-базальное отношение эквивалентности является наиболее детализированным принципом дважды инвариантной абстракции. Однако, как и в случае двойной инвариантности и бикардинала Юма ранее, мы действительно можем доказать кое-что более сильное:

Теорема 3.20. Для любого двояко внутренне инвариантного отношения эквивалентности | $ E (X, Y) $ | ⁠ и любой модели | $ \ mathcal {M} = \ langle \ Delta, I \ rangle $ | :

M⊨ (∀X) (∀Y) [ub (X, Y) → E (X, Y)].

Следствие 3.21. Для любого принципа абстракции :

AE: (∀X) (∀Y) [@ (X) = @ (Y) ↔E (X, Y)],

где | $ E (X, Y) $ | дважды инвариантно, если | $ \ mathcal {M} = \ langle \ Delta, I \ rangle $ | является моделью (не обязательно бесконечной!) | $ {\ sf A_E} $ | ⁠, тогда :

M⊨ (∀X) (∀Y) [ub (X, Y) → E (X, Y)] .

На этом наша таксономия завершена.

4. ПРИНЦИП ХЮМА И УЛЬТРАБАЗАЛЬНОСТЬ

Как отмечалось в начале § 3, мы можем охарактеризовать наиболее детальный принцип инвариантной абстракции для каждого из четырех соответствующих понятий инвариантности в терминах двух троек.Первый из них — это тройка классов концепций, которые необходимо рассматривать отдельно при формулировании таких максимально детализированных принципов абстракции: экспоненциально малые концепции, экспоненциально совпадающие концепции и экспоненциально большие и экспоненциально совпадающие концепции. Вторая тройка — это тройка отношений эквивалентности, которые применяются к каждому из этих трех классов понятий: коэкстенсиональность (⁠ | $ \ Equiv $ | ⁠), бикардинальная равнодоступность (⁠ | $ \ приблизительно _ {\ it {BC}} $ | ⁠) и равнодоступность (⁠ | $ \ приблизительно $ | ⁠).Эти отношения эквивалентности упорядочены от наиболее к наименее детализированной:

Предложение 4.1. Для любой модели | $ \ mathcal {M} = \ langle \ Delta, I \ rangle $ | ⁠:

M⊨ (∀X) (∀Y ) [X≡Y → X≈BCY]; M⊨ (∀X) (∀Y) [X≈BCY → X≈Y].

Таким образом, четыре понятия инвариантности являются примерами общего паттерна: | $ \ langle E_1, E_2, E_3 \ rangle $ | — отношений эквивалентности и основанных на них принципов абстракции:

Определение 4.2. Даны три отношения эквивалентности для понятий | $ E_1 $ | ⁠, | $ E_2 $ | ⁠, и | $ E_3 $ | ⁠, | $ \ langle E_1, E_2, E_3 \ rangle $ | -эквивалентность соотношение :

〈E1, E2, E3〉 (X, Y) = df (SEm (X) ∧SEm (Y) ∧E1 (X, Y)) ∨ (BEig (X) ∧BEig (Y) ∧ BEig (¬X) ∧BEig (¬Y) ∧E2 (X, Y)) ∨ (SEm (¬X) ∧SEm (¬Y) ∧E3 (X, Y)).

Определение 4.3. Даны три отношения эквивалентности для понятий | $ E_1 $ | ⁠, | $ E_2 $ | ⁠, и | $ E_3 $ | ⁠, | $ \ langle E_1, E_2, E_3 \ rangle $ | -абстракция принцип :

A⟨E1, E2, E3⟩: (∀X) (∀Y) [@ ⟨E1, E2, E3⟩ (X) = @ ⟨E1, E2, E3⟩ (Y) ↔⟨E1 , E2, E3⟩ (X, Y)].

Короче говоря, применяется принцип абстракции | $ \ langle E_1, E_2, E_3 \ rangle $ | | $ E_1 $ | к экспоненциально малым концепциям применяется | $ E_3 $ | к экспоненциально со-малым концепциям и применяет | $ E_2 $ | к экспоненциально большим и экспоненциально совпадающим концепциям.

Мы можем еще более пристально сосредоточиться на рассматриваемом явлении, ограничив наше внимание принципами абстракции инвариантности :

Определение 4.4. Принцип абстракции | $ \ langle E_1, E_2, E_3 \ rangle $ | — является принципом абстракции инвариантности тогда и только тогда, когда:

E1, E2, E3∈ {≡, ≈BC, ≈}.

Таким образом, принцип базальной абстракции — это принцип абстракции | $ \ langle \ эквив, \ приблизительно_ \ textit {BC}, \ эквив \ rangle $ | -инвариантности, бикардинал Юма — это | $ \ langle \ приблизительно_ \ textit {BC }, \ приблизительно_ \ textit {BC}, \ приблизительно_ \ textit {BC} \ rangle $ | -инвариантный принцип абстракции, супербазальный принцип абстракции — это | $ \ langle \ Equiv, \ приблизительно, \ приблизительно \ rangle $ | принцип абстракции -инвариантности, а принцип ультрабазальной абстракции — это принцип абстракции | $ \ langle \ приблизительно_ \ textit {BC}, \ приблизительно, \ приблизительно \ rangle $ | -инвариантность.Мы можем переформулировать рисунок 1 из § 2, представляющий отношения между нашими четырьмя типами инвариантного отношения эквивалентности, заменяя каждый вид инвариантности ярлыком для принципа абстракции, который характеризует каждый класс (с точки зрения максимальной детализации внутри класса), получаем рисунок 2. По мере того, как мы переходим от более сильного к более слабому понятию инвариантности, одно или несколько отношений эквивалентности в тройке заменяются более тонкими отношениями эквивалентности. Кроме того, тройка, связанная с дважды внутренне инвариантными принципами абстракции (⁠ | $ \ langle \ приблизительно _ {\ mathsf {BC}}, \ приблизительно, \ приблизительно \ rangle $ | ⁠), теперь легко рассматривается как «точная нижняя граница» троек, связанных с принципами дважды внутренней инвариантности и внутренне инвариантными принципами абстракции (⁠ | $ \ langle \ приблизительно _ {\ mathsf {BC}}, \ приблизительно _ {\ mathsf {BC}}, \ приблизительно _ {\ mathsf {BC}} \ rangle $ | и | $ \ langle \ эквив, \ ок, \ ок \ рангл $ | соответственно), как и следовало ожидать.

Рис. 2.

Четыре отношения инвариантной эквивалентности

Рис. 2.

Четыре отношения инвариантной эквивалентности

Полное рассмотрение принципов абстракции инвариантности выходит за рамки данной статьи, но мы можем отметить следующие два, скорее, простые, факты. Во-первых, просто предоставить полную спецификацию того, какие принципы абстракции инвариантности выполнимы, а какие нет:

Теорема 4.5.

Любой принцип абстракции инвариантности выполним тогда и только тогда, когда | $ E_2 $ | — это не | $ \ Equiv $ | ⁠.

Во-вторых, мы можем отметить, что ряд синтаксически различных принципов абстракции инвариантности фактически эквивалентны: 13

Предложение 4.6. Для любой модели | $ \ mathcal {M} = \ langle \ Delta, I \ rangle $ | , где | $ | \ Delta | \ geq \ aleph_0 $ | ⁠, и любые два отношения эквивалентности | $ E_2 $ | и | $ E_3 $ | ⁠:

M⊨ (∀X) (∀Y) (⟨≈, E2, E3⟩ (X, Y) ↔⟨≈BC, E2, E3⟩ (X, Y)).

Эта теорема имеет следующее интересное следствие:

Следствие 4.7. Для любой модели | $ \ mathcal {M} = \ langle \ Delta, I \ rangle $ | , где | $ | \ Delta | \ geq \ aleph_0 $ | :

M⊨ (∀X) (∀Y) (ub (X, Y) ↔X≈Y)).

Другими словами, ультра-базальное отношение эквивалентности эквивалентно равнодействию — отношению эквивалентности, обнаруженному в принципе Юма. Другой способ сформулировать это так: принцип Юма является (с точностью до эквивалентности отношения эквивалентности) наиболее детализированным, дважды внутренне инвариантным принципом абстракции.

5.ВЫВОДЫ

Таким образом, принцип Юма инвариантен в особенно сильном смысле (дважды внутренне инвариантен) и является наиболее тонким унарным принципом концептуальной абстракции, который обладает этим свойством. Если, как было предложено (но не аргументировано) во введении, слабая инвариантность эквивалентна логичности, то это означает, что принцип Юма является наиболее онтологически щедрым принципом абстракции, который также удовлетворяет этому (хотя и довольно сильному) обобщению понятия логичности. .Мы могли бы пойти дальше и заявить, что принцип Юма на более логичен, чем принципы (такие как Основной закон V, бикардинальный принцип Юма и принципы базальной и супербазальной абстракции), которые не могут быть дважды внутренне инвариантными. Но неясно, является ли такое утверждение последовательным (а тем более правдивым), поскольку кажется довольно неправдоподобным, что логичность проявляется в степени. 14

Тем не менее, эти результаты показывают, что в принципе Юма есть что-то особенное. Как обсуждалось в § 2, требование, чтобы отношения эквивалентности в приемлемых принципах абстракции были внутренне инвариантными, равносильно требованию, чтобы принципы абстракции присваивали абстракции концепциям и устанавливали тождества между такими абстракциями на основе внутренних характеристик соответствующих концепций ( i.е. , нам нужно только взглянуть на объекты, подпадающие под соответствующие концепции, или на подконцепции объединения соответствующих концепций). Кроме того, требование, чтобы эти отношения эквивалентности были дважды инвариантными, соответствует одному (слабому) способу требования, чтобы принципы абстракции полностью фиксировали структуру вводимых ими абстракций, то есть, чтобы они были относительно категоричными, в терминологии [Уолша и Эбельса -Дугган, 2015]. Любой принцип абстракции, который удовлетворяет обоим из этих desiderata , должен быть дважды внутренне инвариантным, и принцип Юма является наиболее детализированным из таких принципов.

По общему признанию, здесь не было представлено никаких положительных аргументов в пользу утверждения о том, что любой приемлемый принцип абстракции должен удовлетворять одному или обоим из этих desiderata . Даже в этом случае тот факт, что принцип Юма удовлетворяет обоим условиям, приводит к интересному и провокационному заключительному наблюдению: принцип Юма, в силу того, что он является дважды внутренне инвариантным, обладает свойством, не разделяемым ни одним принципом унарной концептуальной абстракции, который обеспечивает уникальную абстракцию для любое отдельное понятие, кроме пустого понятия.Другими словами, любой принцип абстракции, который « ведет себя », как Основной закон V, в отношении любых концепций (кроме пустого понятия), то есть любой абстракции, которая предоставляет абстрактное понятие, которое является абстрактным только одного понятия (кроме пустого concept) — не будет двояко внутренне инвариантным. 15

В результате у нас теперь есть, по крайней мере, частичное объяснение того факта, что дошедшие до нас попытки восстановить теорию множеств в рамках нео-логики, основанной на той или иной ограниченной версии Основного закона V, такой как | $ \ mathsf {NewV} $ | [Boolos, 1989]:

NewV: (∀X) (∀Y) [§ (X) = § (Y) ↔ (X≡Y∨ (Big (X) ∧Big (Y)))],

, где Big | $ (X) $ | сокращает чисто логическую формулу второго порядка, выражающую, что | $ X $ | равны всему домену, потерпели неудачу (или, по крайней мере, оказались гораздо менее привлекательными, чем соответствующая реконструкция кардинальных чисел в виде абстрактов). классов равномерных понятий). 16 Эти реконструкции были смоделированы на основе уникальной истории успеха неологицизма — принципа Юма. Но, в отличие от принципа Юма, никакой принцип унарной концептуальной абстракции, который вводит множества как абстракции уникальных понятий, не может быть дважды внутренне инвариантным. Таким образом, стандартная неологичская реконструкция кардинальных чисел демонстрирует чрезвычайно хорошие формальные свойства, которые не должны соответствовать какой-либо аналогичной реконструкции теории множеств посредством некоторой модификации Основного закона V.

Таким образом, принцип Юма — это не просто центрально важный принцип абстракции для исторические причины ( э.g ., потому что Фреге уделяет ему так много внимания в Die Grundlagen ), но также имеет центральное значение, потому что он имеет очень особые, чрезвычайно интересные (и технически удобные) формальные свойства, свойства, не разделяемые другими принципами абстракции (даже теми, которые имеют все другие полезные свойства, которые обсуждались в литературе до сих пор, такие как высокая стабильность). В результате, возможно, нет ничего удивительного в том, что первые успехи неологицизма в обеспечении основы арифметики нелегко распространить на другие области математики.

Наконец, если бы были веские причины полагать, что отношения эквивалентности в приемлемых принципах абстракции должны быть дважды внутренне инвариантными, тогда мы можем пойти гораздо дальше: если мы требуем двойной внутренней инвариантности, тогда никакой приемлемый принцип абстракции не может предоставлять доступ к любым множествам вообще, понимаемым как абстракции отдельных концепций (за исключением, опять же, тривиального случая пустого множества). Однако если это верно, то это означает, что неологики (включая меня) сталкиваются с дилеммой: они должны либо (i) найти другие средства, с помощью которых можно реконструировать что-то похожее на стандартную теорию множеств в рамках этой структуры, либо (ii ) согласны с тем, что неологицизм — это вовсе не общая философия математики, а просто философия арифметики (и других областей математики, которые, в отличие от теории множеств, могут быть реконструированы с использованием принципов дважды внутренне инвариантной абстракции).Первый вариант выглядит крайне сложным, а второй, по крайней мере, для автора, крайне разочаровал бы.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Теорема 2.14
Доказательство

Предположим, | $ E (X, Y) $ | является как дважды инвариантным (следовательно, просто инвариантным), так и внутренне инвариантным. Пусть | $ f $ | — произвольная однозначная функция из | $ X $ | в | $ \ Delta $ | ⁠. Есть два случая.

(1) Если | $ X $ | конечно, либо | $ X $ | бесконечно и | $ | X | <| \ Delta | $ | ⁠, то мы можем расширить | $ f $ | перестановке | $ \ pi $ | на | $ \ Delta $ | ⁠.Тогда, поскольку | $ E (X, Y) $ | просто инвариантно, то | $ E (X, \ pi (X)) $ | ⁠, а значит, | $ E (X, f (X)) $ | ⁠.

(2) Предположим, | $ X $ | бесконечно и | $ | X | = | \ Delta | $ | ⁠. Пусть | $ \ Delta_1 $ | и | $ \ Delta_2 $ | быть таким, что | $ | \ Delta_1 | = | \ Delta_2 | = | \ Delta | $ | ⁠, | $ \ Delta_1 \ cup \ Delta_2 = \ Delta $ | ⁠ и | $ \ Delta_1 \ cap \ Delta_2 = \ varnothing $ | ⁠. Поскольку | $ \ Delta $ | бесконечно и | $ E (X, Y) $ | просто инвариантен, мы знаем, что есть | $ Y_1 $ | ⁠, | $ Y_2 $ | такое, что | $ | Y_1 | = | Y_2 | = | \ Delta | $ | ⁠, | $ E (Y_1, Y_2) $ | ⁠, а не | $ Y_1 \ Equiv Y_2 $ | (е.грамм. | $ Y_1 = \ Delta \ backslash \ {a \} $ | и | $ Y_2 = \ Delta \ backslash \ {b \} $ | для различных | $ a, b \ in \ Delta $ | ⁠). Пусть | $ Z_1 $ | и | $ Z_2 $ | — концепции такие, что | $ | Z_1 \ backslash Z_2 | = | Y_1 \ обратная косая черта Y_2 | $ | ⁠, | $ | Z_2 \ обратная косая черта Z_1 | = | Y_2 \ обратная косая черта Y_1 | $ | ⁠, | $ | Z_1 \ cap Z_2 | = | Y_1 \ cap Y_2 | $ | и | $ Z_1 \ substeq \ Delta_1 $ | и | $ Z_2 \ subset \ Delta_1 $ | ⁠. Тогда существует однозначная функция | $ g $ | такое, что | $ g [Y_1] = Z_1 $ | и | $ g [Y_2] = Z_2 $ | ⁠. Итак, поскольку | $ E (X, Y) $ | внутренне инвариантно, | $ E (Z_1, Z_2) $ | ⁠.Пусть | $ W_1 $ | и | $ W_2 $ | — концепции такие, что | $ | W_1 \ backslash W_2 | = | X \ обратная косая черта f [X] | $ | ⁠, | $ | W_2 \ обратная косая черта W_1 | = | f [X] \ обратная косая черта X | $ | ⁠, | $ | W_1 \ cap W_2 | = | X \ cap f [X] | $ | и | $ W_1 \ substeq \ Delta_2 $ | и | $ W_2 \ subset \ Delta_2 $ | ⁠. Поскольку | $ | Z_1 | = | \ neg Z_1 | = | W_1 | = | \ neg W_1 | = | \ Delta | $ | ⁠, существует перестановка | $ \ pi_1 $ | такое, что | $ \ pi_1 [Z_1] = W_1 $ | ⁠. Поскольку | $ E (X, Y) $ | дважды инвариантно, получаем | $ E (Z_1, W_1) $ | ⁠. Аналогично | $ E (Z_2, W_2) $ | ⁠. Поскольку | $ E (X, Y) $ | является отношением эквивалентности, | $ E (W_1, W_2) $ | ⁠.Однако существует однозначная функция | $ h $ | ⁠ такая, что | $ h [W_1] = X $ | и | $ h [W_2] = f [X] $ | ⁠. Итак, поскольку | $ E (X, Y) $ | внутренне инвариантно, | $ E (X, f [X]) $ | ⁠. Таким образом, | $ E (X, Y) $ | просто внутренне инвариантен. □

Теорема 3.6
Доказательство

. Пусть | $ \ mathcal {M} = \ langle \ Delta, I \ rangle $ | — произвольная бесконечная модель и | $ X $ | любое понятие такое, что | $ | X | = | \ neg X | = | \ Delta | $ | ⁠. Пусть | $ a $ | — любой объект такой, что | $ a \ in \ Delta $ | и | $ a \ notin X $ | ⁠. Тогда | $ \ mathfrak {b} (X, X \ cup \ {a \}) $ | ⁠.Рассмотрим любой однозначный | $ f: X \ cup \ {a \} \ rightarrow \ Delta $ | ⁠, где | $ f [X \ cup \ {a \}] = \ Delta $ | ⁠. Тогда это не тот случай, когда | $ \ mathfrak {b} (f [X], f [X \ cup \ {a \}]) $ | ⁠. Итак | $ \ mathfrak {b} (X, Y) $ | не является внутренне инвариантным. □

Теорема 3.7
Доказательство

. Пусть | $ \ mathcal {M} = \ langle \ Delta, I \ rangle $ | — произвольная бесконечная модель, и пусть | $ X = \ {a \} $ | и | $ Y = \ {b \} $ | для различных | $ a, b \ in \ Delta $ | ⁠. Пусть | $ \ pi $ | — любая перестановка на | $ \ Delta $ | что такое, что | $ \ pi [X] = Y $ | ⁠.Тогда это не тот случай, когда | $ \ mathfrak {b} (X, \ pi [X]) $ | ⁠. Итак | $ \ mathfrak {b} (X, Y) $ | не просто (и, следовательно, не дважды) инвариантен. □

Теорема 3.11
Доказательство

. Пусть | $ \ mathcal {M} = \ langle \ Delta, I \ rangle $ | — произвольная бесконечная модель и | $ X $ | любое понятие такое, что | $ | X | = | \ neg X | = | \ Delta | $ | ⁠. Пусть | $ a $ | — любой объект такой, что | $ a \ in \ Delta $ | и | $ a \ notin X $ | ⁠. Тогда | $ X \ Equiv (X \ cup \ {a \}) $ | и | $ \ neg X \ Equiv \ neg (X \ cup \ {a \}) $ | ⁠. Рассмотрим любой однозначный | $ f: X \ cup \ {a \} \ rightarrow \ Delta $ | ⁠, где | $ f [X \ cup \ {a \}] = \ Delta $ | ⁠.Тогда это не тот случай, когда | $ f [X] \ Equiv f [(X \ cup \ {a \})] $ | и | $ \ neg f [X] \ Equiv \ neg f [(X \ cup \ {a \})] $ | — последний не работает, поскольку | $ \ neg f [X] = \ {f (a) \} $ | и | $ \ neg f [(X \ cup \ {a \})] = \ varnothing $ | ⁠. Таким образом, | $ X \ приблизительно _ {\ mathsf {BC}} Y $ | не является внутренне инвариантным. □

Теорема 3.16
Доказательство

. Пусть | $ \ mathcal {M} = \ langle \ Delta, I \ rangle $ | — произвольная бесконечная модель, и пусть | $ X = \ {a \} $ | и | $ Y = \ {b \} $ | для различных | $ a, b \ in \ Delta $ | ⁠. Пусть | $ \ pi $ | — любая перестановка на | $ \ Delta $ | такое, что | $ \ pi (X) = Y $ | ⁠.Тогда это не тот случай, когда | $ \ mathfrak {sb} (X, \ pi (X)) $ | ⁠. Итак | $ \ mathfrak {sb} (X, Y) $ | не просто инвариантен, следовательно, не является дважды инвариантным. □

Теорема 3.19
Доказательство

Для любой модели | $ \ mathcal {M} $ | с областью определения | $ \ Delta $ | ⁠ и любой однозначной функцией | $ f $ | ⁠, | $ X \ приблизительно f (X) $ | ⁠. Далее, если | $ X $ | экспоненциально мала и | $ f $ | — любая однозначная функция, то | $ X \ приблизительно _ {\ mathsf {BC}} f (X) $ | ⁠. Следовательно (рассуждая по случаям) | $ \ mathfrak {ub} (X, Y) $ | просто внутренне инвариантен, следовательно, дважды внутренне инвариантен.□

Теорема 3.20
Доказательство

Если | $ X \ приблизительно Y $ | (независимо от того, | $ \ neg X \ приблизительно \ neg Y $ |!), тогда существует взаимно однозначное отображение | $ f $ | такое, что | $ f [X] = Y $ | ⁠. Поскольку | $ {\ mathsf {A_E}} $ | дважды (следовательно, просто) внутренне инвариантно, отсюда следует, что | $ E (X, Y) $ | ⁠. □

Теорема 4.5
Доказательство

| $ (\ rightarrow) $ | По контрасту. Если | $ E_2 $ | есть | $ \ Equiv $ | ⁠, то существует отдельный класс эквивалентности для каждого понятия, которое экспоненциально велико и экспоненциально совпадает.Но по теореме Кантора таких понятий больше, чем членов области. Итак, принцип абстракции | $ \ langle E_1, E_2, E_3 \ rangle $ | -инвариантности невыполним.

| $ (\ leftarrow) $ | Если | $ E_2 $ | не | $ \ Equiv $ | ⁠, то | $ E_2 $ | равно | $ \ приблизительно $ | или | $ \ приблизительно _ {\ mathsf {BC}} $ | ⁠. В любом случае, принцип абстракции | $ \ langle E_1, E_2, E_3 \ rangle $ | -инвариантности разделяет класс понятий не на большее количество классов эквивалентности, чем Отношение базовой эквивалентности.Принцип базальной абстракции стабилен, следовательно, рассматриваемый принцип абстракции | $ \ langle E_1, E_2, E_3 \ rangle $ | -инвариантности будет устойчивым, а значит, также выполнимым. □

Список литературы

Антонелли,

A.

[

2010

]:

«Понятия неизменности принципов абстракции»,

Philosophia Mathematica (3)

18

,

276

292

.

Boolos,

г.

[

1989

]:

«Итерация снова»,

Философские темы

7

,

5

21

.

—— [

1990a

]:

«Стандарт равенства чисел»,

в [Boolos, 1990b], стр.

261

277

.

——, изд. [

1990b

]: Значение и метод: Очерки в честь Хилари Патнэм .

Издательство Гарвардского университета.

Cook,

R.

[

2003

]:

«Итерация еще раз»

, Notre Dame Journal of Formal Logic

44

,

63

92

.

—— [

2009a

]:

«Новые волны на старом пляже: фреганская философия математики сегодня»

, в [Linnebo and Bueno, 2009], стр.

13

34

.

—— [

2009b

]:

«Старший брат Хьюма: подсчет концепций и возражение против плохой компании»,

Synthese

170

,

349

369

.

—— [

2012

]:

«Консервативность, стабильность и абстракция»,

Британский журнал философии науки

63

,

673

696

.

Cook,

R.,

и

Ebert

P.

[

2005

]:

«Абстракция и идентичность»,

Dialectica

59

,

121

139

.

Даммет,

М.

[

1993

]: Логические основы метафизики .

Издательство Гарвардского университета.

Fine,

K.

[

2002

]: Пределы абстракции .

Oxford University Press.

Hale,

B.

[

2000

]:

«Абстракция и теория множеств»

, Notre Dame Journal of Formal Logic

41

,

379

398

.

Hale,

B.,

и

Wright

C.

[

2001

]: Надлежащее исследование причины .

Oxford University Press.

Хек,

Р.,

изд.[

1997

]: Язык, мысль и логика: очерки в честь Майкла Даммита .

Oxford University Press.

—— [

2012a

]:

«Существование (и несуществование) абстрактных объектов»,

в [Heck, 2012b], стр.

200

226

.

—— [

2012b

]: Теорема Фреге .

Oxford University Press.

Linnebo,

Ø.,

и

Bueno,

O.

eds [

2009

]: Новые волны в философии математики .

Нью-Йорк

:

Пэлгрейв Макмиллан.

Linnebo,

Ø.,

и

Cook

R.

[

]:

«Мощность и приемлемая абстракция»,

Notre Dame Journal of Formal Logic .

Паттерсон,

Д.,

изд. [

2008

]: Новые очерки Тарского и философии .

Oxford University Press.

Куайн,

W.

[

1986

]: Философия логики. 2-е изд.

Издательство Гарвардского университета.

Шер,

G.

[

2008

]:

«Тезис Тарского»,

в [Паттерсон, 2008], стр.

300

339

.

Варзи,

A.

[

2002

]: «О логической относительности», Philosophical Issues

12

,

197

219

.

Walsh,

S.,

и

Ebels-Duggan

S.

[

2015

]:

«Принципы относительной категоричности и абстракции»,

Review of Symbolic Logic

8

,

,

606

.

Weir,

A.

[

2003

]:

«Неофрежество: позор богатства»,

Notre Dame Journal of Formal Logic

44

,

13

48

.

Wright,

C.

[

1983

]: Концепция Фреге чисел как объектов .

Издательство Абердинского университета.

—— [

1997

]:

«О философском значении теоремы Фреге»,

в [Heck, 1997], стр.

201

244

.

© Автор [2016]. Опубликовано Oxford University Press. Все права защищены. Для получения разрешений обращайтесь по электронной почте: [email protected]

9 признаков того, что вы мыслитель абстрактно — необычный путь

Вы мыслитель абстрактно?

И что именно это означает? Значит ли это, что ваши мысли напоминают Пикассо?

Гм. Ну может немного. Но об этом позже….

На самом деле все мы используем как конкретные, так и абстрактные формы мышления в зависимости от ситуации. Просто большинство людей от природы тяготеют к доминирующему, предпочтительному стилю. И это имеет большое значение для вашей жизни.

Конкретные мыслители более комфортно чувствуют себя здесь и сейчас, имея то, что они могут засвидетельствовать и наглядно доказать. Они хотят знать точные шаги и часто не терпят изменения планов или новых идей. Им не нравится, когда им приходится пытаться читать между строк или когда инструкции неоднозначны.

Абстрактные мыслители не могут не думать о том, как все соотносится с общей картиной. В чем более глубокий смысл, каковы тенденции и закономерности, каковы возможности? Они быстро образуют междисциплинарные ассоциации и привыкли к метафорам и подтексту.И если они хоть немного знакомы с предметом, они скорее получат общие рекомендации, чем пошаговые инструкции.

Так что, возможно, будет не слишком надуманным сказать, что мысли конкретного мыслителя больше фотореализма, а абстрактного мыслителя — больше кубизма.

Другими словами:

Представьте, что и конкретный мыслитель, и абстрактный мыслитель посещают вебинар по привлечению внимания к Facebook.

Конкретный мыслитель может сосредоточиться на точной тактике, которая доказала свою эффективность для других.

Абстрактного мыслителя может быть больше интересно, что эта тактика говорит о человеческой природе и как уроки могут быть применены ко всем аспектам человеческого взаимодействия в бизнесе (и за его пределами), чтобы мотивировать, вдохновлять и создавать связи.

Вот еще пример. Когда люди впервые посещают занятия йогой, они уделяют много времени точной технике выполнения поз и работе с дыханием. Они хотят, чтобы все было «правильно».

Только позже большинство людей начнет понимать, насколько уроки применимы к жизни в целом — внимательность, отсутствие реакции, принятие своих ограничений и безопасное преодоление своих ограничений. Хотя это отличный способ упражнять тело, позы йоги — это, прежде всего, способ конкретизировать более абстрактные концепции философии йоги.

Ок. Без дальнейших объяснений, вот 9 признаков того, что вы мыслитель абстрактно:


1) Услышав новую мелочь, вы обнаруживаете, что думаете о том, как нечто совершенно иное может быть связано с тем, что вы узнали.

2) Вы знаете тех детей, которые постоянно спрашивают: «Почему?» У них ничего на вас нет.Вы игнорируете закатывание глаз и не прекращаете задавать вопросы, пока не будете удовлетворены.

3) Руководства по эксплуатации могут подойти в первый раз, но потом вы предполагаете, что эти принципы применимы ко всему подобному оборудованию.

4) Вас больше интересует цель, стоящая за правилами, чем буква закона.

5) Вам сложно вспомнить точные исторические детали, но вы можете говорить об общих тенденциях.

6) Вы проводите время, размышляя над большими вопросами. В чем смысл жизни? Какова природа сознания? Почему?

7) Если кто-то хочет мотивировать вас, он должен сказать вам, почему это важно, а не только как это сделать.

8) На самом деле царапина подскажет, как это сделать. Вам просто нужна цель и, возможно, некоторые минимальные рекомендации, а вы сделаете все остальное. Пошаговые инструкции заставят вас зевнуть.

9) Вам надоедает рутина. Вы склонны искать новые способы делать что-то и не возражаете изменить курс, если это может обеспечить лучший результат.

У обоих типов мыслителей в некоторых отношениях легче, чем у других, и они лучше подходят для определенных задач, чем другие.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *